Вопросы?, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую функцию называют степенной функцией с натуральным показателем?

2. Сформулируйте свойства функции $y = x^n$, где $n$ — чётное натуральное число.

3. Сформулируйте свойства функции $y = x^n$, где $n$ — нечётное натуральное число.

1. Какую функцию называют степенной функцией с натуральным показателем?

Степенной функцией с натуральным показателем называют функцию, которую можно задать формулой вида $y=x^n$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $n$ — заданное натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), которое называют показателем степени.
Ответ: Функцию, заданную формулой $y=x^n$, где $n$ — натуральное число, называют степенной функцией с натуральным показателем.

2. Сформулируйте свойства функции $y = x^n$, где $n$ — чётное натуральное число.

Пусть $n$ — чётное натуральное число, то есть $n = 2k$, где $k \in \mathbb{N}$. Основные свойства функции $y=x^n$:

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех неотрицательных чисел, $E(y) = [0; +\infty)$.
• Чётность: функция является чётной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^n = x^n = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График проходит через начало координат.
• Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y > 0$) при всех $x \neq 0$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция имеет точку минимума, $y_{min} = y(0) = 0$. Наибольшего значения функция не имеет.
• Ограниченность: функция ограничена снизу (числом 0), но не ограничена сверху.

Ответ: Свойства функции $y=x^n$ для чётного натурального $n$: область определения — все действительные числа; область значений — все неотрицательные числа; функция чётная; убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$; имеет минимум в точке $x=0$, равный 0.

3. Сформулируйте свойства функции $y = x^n$, где $n$ — нечётное натуральное число.

Пусть $n$ — нечётное натуральное число, то есть $n = 2k - 1$, где $k \in \mathbb{N}$. Основные свойства функции $y=x^n$:

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Чётность: функция является нечётной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^n = -x^n = -y(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График проходит через начало координат.
• Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y > 0$) при $x > 0$ и отрицательные значения ($y < 0$) при $x < 0$.
• Монотонность: функция является возрастающей на всей области определения.
• Экстремумы: функция не имеет точек экстремума.
• Ограниченность: функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

Ответ: Свойства функции $y=x^n$ для нечётного натурального $n$: область определения — все действительные числа; область значений — все действительные числа; функция нечётная; возрастает на всей области определения; не имеет экстремумов.