Номер 8.17, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.17. Решите неравенство:

1) $\frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3} \le 0;$

2) $\frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5} \ge 0;$

3) $\frac{x^2(x^2-1)}{x-4} > 0.$

Решим неравенство $\frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3} \le 0$ методом интервалов.

1. Находим нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых выражение может сменить знак.

Нули числителя: $(x-1)(x-2)^2 = 0$. Отсюда $x=1$ (корень нечетной кратности) и $x=2$ (корень четной кратности).

Нуль знаменателя: $(x-3)^3 = 0$. Отсюда $x=3$ (корень нечетной кратности). Область допустимых значений: $x \ne 3$.

2. Отметим найденные точки на числовой оси. Точки, где числитель равен нулю ($x=1, x=2$), отмечаем закрашенными кружками, так как неравенство нестрогое ($\le$). Точку, где знаменатель равен нулю ($x=3$), отмечаем выколотым кружком.

3. Определим знак выражения на каждом из полученных интервалов. При переходе через корень нечетной кратности ($x=1$ и $x=3$) знак меняется, а при переходе через корень четной кратности ($x=2$) — не меняется.

Проверим знак в крайнем правом интервале, взяв $x=4$: $\frac{(4-1)(4-2)^2}{(4-3)^3} = \frac{3 \cdot 2^2}{1^3} = 12 > 0$. Ставим знак "+".

Двигаясь справа налево, расставляем знаки:

• $(3, +\infty)$: +
• $(2, 3)$: - (знак сменился при переходе через $x=3$)
• $(1, 2)$: - (знак не сменился при переходе через $x=2$)
• $(-\infty, 1)$: + (знак сменился при переходе через $x=1$)

4. Выбираем интервалы, удовлетворяющие знаку "$\le 0$". Это интервалы $(1, 2)$ и $(2, 3)$. Также включаем точки, где выражение равно нулю, то есть $x=1$ и $x=2$. Объединив полученные промежутки и точки, получаем решение $[1, 3)$.

Ответ: $x \in [1, 3)$.

Решим неравенство $\frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5} \ge 0$ методом интервалов.

1. Находим нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $(x-1)^2(x+2)^3 = 0$. Отсюда $x=1$ (корень четной кратности) и $x=-2$ (корень нечетной кратности).

Нуль знаменателя: $x-5 = 0$. Отсюда $x=5$ (корень нечетной кратности). Область допустимых значений: $x \ne 5$.

2. Отметим точки на числовой оси: $x=-2$ и $x=1$ — закрашенные (неравенство нестрогое), $x=5$ — выколотая.

3. Определим знаки на интервалах. При переходе через $x=1$ (четная кратность) знак не меняется. При переходе через $x=-2$ и $x=5$ (нечетная кратность) знак меняется.

Проверим знак в крайнем правом интервале, взяв $x=6$: $\frac{(6-1)^2(6+2)^3}{6-5} > 0$. Ставим знак "+".

Расставляем знаки справа налево:

• $(5, +\infty)$: +
• $(1, 5)$: - (знак сменился при переходе через $x=5$)
• $(-2, 1)$: - (знак не сменился при переходе через $x=1$)
• $(-\infty, -2)$: + (знак сменился при переходе через $x=-2$)

4. Выбираем промежутки со знаком "$\ge 0$". Это интервалы $(-\infty, -2]$ и $(5, +\infty)$. Также, поскольку неравенство нестрогое, решением является точка $x=1$, в которой выражение равно нулю. Точка $x=-2$ уже включена в промежуток.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup \{1\} \cup (5, +\infty)$.

Решим неравенство $\frac{x^2(x^2-1)}{x-4} > 0$.

1. Преобразуем неравенство, разложив $x^2-1$ на множители: $\frac{x^2(x-1)(x+1)}{x-4} > 0$.

2. Находим нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x^2(x-1)(x+1) = 0$. Отсюда $x=0$ (корень четной кратности), $x=1$ (корень нечетной кратности) и $x=-1$ (корень нечетной кратности).

Нуль знаменателя: $x-4 = 0$. Отсюда $x=4$ (корень нечетной кратности). Область допустимых значений: $x \ne 4$.

3. Отметим точки на числовой оси: $x=-1, x=0, x=1, x=4$. Все точки выколотые, так как неравенство строгое ($>$).

4. Определим знаки на интервалах. При переходе через $x=0$ (четная кратность) знак не меняется. При переходе через $x=-1, x=1, x=4$ (нечетная кратность) знак меняется.

Проверим знак в крайнем правом интервале, взяв $x=5$: $\frac{5^2(5-1)(5+1)}{5-4} > 0$. Ставим знак "+".

Расставляем знаки справа налево:

• $(4, +\infty)$: +
• $(1, 4)$: - (знак сменился при переходе через $x=4$)
• $(0, 1)$: + (знак сменился при переходе через $x=1$)
• $(-1, 0)$: + (знак не сменился при переходе через $x=0$)
• $(-\infty, -1)$: - (знак сменился при переходе через $x=-1$)

5. Выбираем промежутки со знаком "$>$". Это интервалы $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (4, +\infty)$.