Номер 8.10, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.10. Решите неравенство:

1) $(x-3)^2(x^2+x-2) < 0$;

2) $(x-3)^2(x^2+x-2) \le 0$;

3) $(x-3)^2(x^2+x-2) > 0$;

4) $(x-3)^2(x^2+x-2) \ge 0$.

Для решения всех неравенств сначала проанализируем выражение $f(x) = (x-3)^2(x^2+x-2)$.

Оно состоит из двух множителей: $(x-3)^2$ и $(x^2+x-2)$.

Первый множитель $(x-3)^2$ является полным квадратом, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(x-3)^2 \ge 0$ для любых $x$. Он равен нулю при $x=3$ и положителен при $x \ne 3$.

Второй множитель $x^2+x-2$ — это квадратичная функция. Найдем её корни, решив уравнение $x^2+x-2=0$.

С помощью дискриминанта $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9$ или по теореме Виета находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Таким образом, $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$.

График функции $y=x^2+x-2$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому этот множитель положителен при $x \in (-\infty; -2) \cup (1; \infty)$, отрицателен при $x \in (-2; 1)$ и равен нулю при $x = -2$ или $x = 1$.

Теперь решим каждое неравенство.

1) $(x-3)^2(x^2+x-2) < 0$

Произведение будет строго отрицательным, если один множитель положителен, а другой отрицателен. Поскольку множитель $(x-3)^2$ не может быть отрицательным, он должен быть строго положительным, а второй множитель — строго отрицательным.

Это равносильно системе неравенств: $(x-3)^2 > 0$ и $x^2+x-2 < 0$.

Из первого неравенства следует, что $x \ne 3$.

Из второго неравенства следует, что $x \in (-2; 1)$.

Пересечение этих двух условий дает $x \in (-2; 1)$, так как точка $x=3$ не принадлежит этому интервалу.

Ответ: $x \in (-2; 1)$.

2) $(x-3)^2(x^2+x-2) \le 0$

Произведение будет неположительным, если оно меньше нуля или равно нулю.

Случай 1: $(x-3)^2(x^2+x-2) < 0$. Из пункта 1 мы знаем, что решением является $x \in (-2; 1)$.

Случай 2: $(x-3)^2(x^2+x-2) = 0$. Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$(x-3)^2=0 \Rightarrow x=3$.

$x^2+x-2=0 \Rightarrow x=-2$ или $x=1$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем интервал $(-2; 1)$ и точки $-2, 1, 3$. Это даёт нам замкнутый промежуток $[-2; 1]$ и отдельную точку $\{3\}$.

Ответ: $x \in [-2; 1] \cup \{3\}$.

3) $(x-3)^2(x^2+x-2) > 0$

Произведение будет строго положительным, если оба множителя строго положительны (так как $(x-3)^2$ не может быть отрицательным).

Это равносильно системе неравенств: $(x-3)^2 > 0$ и $x^2+x-2 > 0$.

Из первого неравенства следует, что $x \ne 3$.

Из второго неравенства следует, что $x \in (-\infty; -2) \cup (1; \infty)$.

Объединяя эти условия, мы должны из множества $(-\infty; -2) \cup (1; \infty)$ исключить точку $x=3$. Точка 3 принадлежит интервалу $(1; \infty)$, поэтому мы "выкалываем" её, разбивая этот интервал на два: $(1; 3)$ и $(3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1; 3) \cup (3; \infty)$.

4) $(x-3)^2(x^2+x-2) \ge 0$

Произведение будет неотрицательным, если оно больше нуля или равно нулю.

Случай 1: $(x-3)^2(x^2+x-2) > 0$. Из пункта 3 мы знаем, что решением является $x \in (-\infty; -2) \cup (1; 3) \cup (3; \infty)$.

Случай 2: $(x-3)^2(x^2+x-2) = 0$. Из пункта 2 мы знаем, что это происходит при $x \in \{-2, 1, 3\}$.

Объединяя решения из обоих случаев, мы добавляем точки $-2, 1, 3$ к множеству, где неравенство строгое.

Добавляя точки к интервалам, мы "закрываем" их: $(-\infty; -2]$ и $[1; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [1; \infty)$.