Номер 8.11, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Решим неравенство $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} > 0$.

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители.

Для числителя $x^2 + x - 20$: найдем корни уравнения $x^2 + x - 20 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 4$. Таким образом, $x^2 + x - 20 = (x - (-5))(x - 4) = (x+5)(x-4)$.

Для знаменателя $x^2 - 6x + 9$: это формула квадрата разности, $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2} > 0$.

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $x=-5$ и $x=4$.
Нуль знаменателя: $x=3$.
Так как знаменатель не может быть равен нулю, точка $x=3$ является выколотой. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки $x=-5$ и $x=4$ также будут выколотыми.

Отметим точки -5, 3, 4 на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty, -5)$, $(-5, 3)$, $(3, 4)$, $(4, \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Заметим, что множитель $(x-3)^2$ всегда положителен при $x \neq 3$. Следовательно, знак дроби зависит только от знака произведения $(x+5)(x-4)$. График функции $y=(x+5)(x-4)$ — парабола с ветвями вверх, она положительна вне корней и отрицательна между ними.
Также можно учесть, что при переходе через корень $x=3$ (корень четной кратности 2), знак выражения не меняется.

- Интервал $(4, \infty)$: знак `+`.
- Интервал $(3, 4)$: знак `-`.
- Интервал $(-5, 3)$: знак `-`.
- Интервал $(-\infty, -5)$: знак `+`.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-\infty, -5)$ и $(4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (4, \infty)$.

Решим неравенство $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \leq 0$.

Используем разложение на множители из предыдущего пункта: $\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2} \leq 0$.

Нули числителя: $x=-5$, $x=4$. Поскольку неравенство нестрогое ($\leq$), эти точки входят в решение.
Нуль знаменателя: $x=3$. Эта точка не входит в решение, так как на ноль делить нельзя.

Используем метод интервалов с точками -5 (включительно), 3 (исключительно), 4 (включительно). Знаки на интервалах такие же, как в пункте 1): `+` на $(-\infty, -5)$, `-` на $(-5, 3)$, `-` на $(3, 4)$, `+` на $(4, \infty)$.

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком `-` и нули числителя.
Интервалы: $(-5, 3)$ и $(3, 4)$.
Нули числителя: $x=-5$ и $x=4$.
Объединяя всё вместе, получаем промежуток от -5 до 4, включая концы, но исключая точку 3.

Ответ: $x \in [-5, 3) \cup (3, 4]$.

Решим неравенство $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} > 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Знаменатель: $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$. Таким образом, $x^2 + 2x - 8 = (x+4)(x-2)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)} > 0$.

Нули числителя: $x=1$.
Нули знаменателя: $x=-4$, $x=2$.
Все точки ($x=-4, x=1, x=2$) выколотые, так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю.

Отметим точки -4, 1, 2 на числовой оси. Множитель $(x-1)$ в четной степени, поэтому при переходе через точку $x=1$ знак не меняется.
- Интервал $(2, \infty)$: знак `+`.
- Интервал $(1, 2)$: знак `-`.
- Интервал $(-4, 1)$: знак `-`.
- Интервал $(-\infty, -4)$: знак `+`.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-\infty, -4)$ и $(2, \infty)$. Точка $x=1$ не входит в решение, так как при $x=1$ выражение равно 0, а неравенство $0 > 0$ неверно.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)$.

Решим неравенство $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} \geq 0$.

Используем разложение на множители из предыдущего пункта: $\frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)} \geq 0$.

Нуль числителя: $x=1$. Точка включается в решение, так как неравенство нестрогое.
Нули знаменателя: $x=-4$, $x=2$. Точки исключаются из решения.

Знаки на интервалах такие же, как в пункте 3): `+` на $(-\infty, -4)$, `-` на $(-4, 2)$, `+` на $(2, \infty)$. Важно помнить, что при $x=1$ выражение равно 0.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю.
Интервалы со знаком `+`: $(-\infty, -4)$ и $(2, \infty)$.
Также включаем нуль числителя: $x=1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup \{1\} \cup (2, \infty)$.

Решим неравенство $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} < 0$.

Используем разложение на множители: $\frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)} < 0$.

Неравенство строгое, поэтому нуль числителя $x=1$ не является решением. Нули знаменателя $x=-4, x=2$ также не входят в область определения.

Знаки на интервалах такие же, как в пункте 3): `+` на $(-\infty, -4)$, `-` на $(-4, 1)$ и $(1, 2)$, `+` на $(2, \infty)$.

Нас интересуют интервалы, где выражение строго меньше нуля. Это $(-4, 1)$ и $(1, 2)$. В точке $x=1$ выражение равно нулю, что не удовлетворяет строгому неравенству, поэтому эту точку нужно исключить.

Ответ: $x \in (-4, 1) \cup (1, 2)$.

Решим неравенство $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} \leq 0$.

Используем разложение на множители: $\frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)} \leq 0$.

Нуль числителя $x=1$ включается в решение. Нули знаменателя $x=-4$ и $x=2$ исключаются.

Знаки на интервалах такие же, как в предыдущих пунктах.

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю.
Интервалы со знаком `-`: $(-4, 1)$ и $(1, 2)$.
Также включаем нуль числителя: $x=1$.
Объединяя интервал $(-4, 1)$, точку $\{1\}$ и интервал $(1, 2)$, получаем один непрерывный интервал $(-4, 2)$, так как точка $x=1$ "склеивает" два соседних интервала.

Ответ: $x \in (-4, 2)$.