Номер 8.15, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.15. Решите неравенство:

1) $(3 - x)^3 (x + 2)^2 (x - 1)(2x - 5) < 0;$

2) $(x^2 - 4)(x^2 + x - 2) \leq 0.$

Решим неравенство $(3 - x)^3(x + 2)^2(x - 1)(2x - 5) < 0$.
Для удобства применения метода интервалов преобразуем множитель $(3-x)^3$.
$(3 - x)^3 = (-(x - 3))^3 = -1 \cdot (x - 3)^3$.
Неравенство принимает вид:
$-(x - 3)^3(x + 2)^2(x - 1)(2x - 5) < 0$.
Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$(x - 3)^3(x + 2)^2(x - 1)(2x - 5) > 0$.
Рассмотрим функцию $f(x) = (x - 3)^3(x + 2)^2(x - 1)(2x - 5)$.
Найдем нули (корни) функции, решив уравнение $f(x) = 0$:
$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$ (корень кратности 3, нечетной).
$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$ (корень кратности 2, четной).
$x - 1 = 0 \implies x_3 = 1$ (корень кратности 1, нечетной).
$2x - 5 = 0 \implies x_4 = 2.5$ (корень кратности 1, нечетной).
Отметим нули функции на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>0$), все точки будут выколотыми.
Нанесем точки в порядке возрастания: $-2, 1, 2.5, 3$.
Определим знак функции $f(x)$ на каждом из полученных интервалов. Начнем с крайнего правого интервала.
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $(4-3)^3(4+2)^2(4-1)(2 \cdot 4-5) > 0$. Ставим знак «+».
- При переходе через корень $x=3$ (нечетная кратность) знак меняется на «−». Интервал $(2.5; 3)$.
- При переходе через корень $x=2.5$ (нечетная кратность) знак меняется на «+». Интервал $(1; 2.5)$.
- При переходе через корень $x=1$ (нечетная кратность) знак меняется на «−». Интервал $(-2; 1)$.
- При переходе через корень $x=-2$ (четная кратность) знак не меняется, остается «−». Интервал $(-\infty; -2)$.
Нас интересуют интервалы, где $f(x) > 0$. Это интервалы со знаком «+».
Таким образом, решением неравенства являются $x \in (1; 2.5) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $(1; 2.5) \cup (3; +\infty)$.

Решим неравенство $(x^2 - 4)(x^2 + x - 2) \le 0$.
Разложим квадратные трехчлены на множители.
Первый множитель $x^2 - 4$ является разностью квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
Для второго множителя $x^2 + x - 2$ найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-2$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Следовательно, $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x - (-2)) = (x - 1)(x + 2)$.
Подставим разложения в исходное неравенство:
$(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 2) \le 0$.
Сгруппируем множители:
$(x + 2)^2(x - 1)(x - 2) \le 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию $g(x) = (x + 2)^2(x - 1)(x - 2)$.
Найдем нули функции, решив уравнение $g(x) = 0$:
$x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$ (корень кратности 2, четной).
$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$ (корень кратности 1, нечетной).
$x - 2 = 0 \implies x_3 = 2$ (корень кратности 1, нечетной).
Отметим нули функции на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le 0$), все точки будут закрашенными.
Нанесем точки в порядке возрастания: $-2, 1, 2$.
Определим знак функции $g(x)$ на каждом из полученных интервалов.
- При $x > 2$ (например, $x=3$): $(3+2)^2(3-1)(3-2) > 0$. Ставим знак «+».
- При переходе через корень $x=2$ (нечетная кратность) знак меняется на «−». Интервал $(1; 2)$.
- При переходе через корень $x=1$ (нечетная кратность) знак меняется на «+». Интервал $(-2; 1)$.
- При переходе через корень $x=-2$ (четная кратность) знак не меняется, остается «+». Интервал $(-\infty; -2)$.
Нас интересуют промежутки, где $g(x) \le 0$. Это интервал со знаком «−» и точки, где $g(x) = 0$.
Интервал, где $g(x) < 0$, это $(1; 2)$.
Точки, где $g(x) = 0$, это $x = -2, x = 1, x = 2$.
Объединяя, получаем отрезок $[1; 2]$ и изолированную точку $x = -2$.

Ответ: $\{-2\} \cup [1; 2]$.