Номер 8.18, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.18. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \ge \frac{3}{x^2}$

2) $\frac{12}{x^2-4} - \frac{7}{x^2-9} \le 0$

1) $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \ge \frac{3}{x}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому:

$x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$

$x+1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$

$x \ne 0$

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства и приведем их к общему знаменателю $x(x-1)(x+1)$:

$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} - \frac{3}{x} \ge 0$

$\frac{x(x+1) + x(x-1) - 3(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} \ge 0$

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$x^2 + x + x^2 - x - 3(x^2-1) = 2x^2 - 3x^2 + 3 = 3 - x^2$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{3-x^2}{x(x-1)(x+1)} \ge 0$

Для решения используем метод интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя: $3 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x_1 = -\sqrt{3}, x_2 = \sqrt{3}$. Так как неравенство нестрогое, эти точки будут включены в ответ (закрашенные точки на оси).

Корни знаменателя: $x=0$, $x=1$, $x=-1$. Эти точки не входят в ОДЗ и всегда исключаются из ответа (выколотые точки на оси).

Отметим все корни на числовой оси в порядке возрастания: $-\sqrt{3}, -1, 0, 1, \sqrt{3}$.

Определим знак выражения на каждом из полученных интервалов. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=2$ (где $2 > \sqrt{3}$):

$\frac{3-2^2}{2(2-1)(2+1)} = \frac{3-4}{2 \cdot 1 \cdot 3} = \frac{-1}{6} < 0$.

Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки на интервалах будут чередоваться. Двигаясь справа налево, получаем знаки: $-, +, -, +, -, +$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак $+$). Это интервалы $(-\infty, -\sqrt{3}]$, $(-1, 0)$ и $(1, \sqrt{3}]$.

Объединяя эти интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup (-1, 0) \cup (1, \sqrt{3}] $

2) $\frac{12}{x^2-4} - \frac{7}{x^2-9} \le 0$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x^2-4 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 4 \Rightarrow x \ne \pm2$

$x^2-9 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 9 \Rightarrow x \ne \pm3$

ОДЗ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x^2-4)(x^2-9)$:

$\frac{12(x^2-9) - 7(x^2-4)}{(x^2-4)(x^2-9)} \le 0$

Упростим числитель:

$12x^2 - 108 - 7x^2 + 28 = 5x^2 - 80 = 5(x^2-16) = 5(x-4)(x+4)$.

Разложим знаменатель на множители:

$(x^2-4)(x^2-9) = (x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{5(x-4)(x+4)}{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)} \le 0$

Решаем методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя: $x-4=0 \Rightarrow x=4$; $x+4=0 \Rightarrow x=-4$. Эти точки включаются в решение.

Корни знаменателя: $x=\pm2$, $x=\pm3$. Эти точки исключаются из решения.

Отметим все корни на числовой оси в порядке возрастания: $-4, -3, -2, 2, 3, 4$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв $x=5$:

$\frac{5(5-4)(5+4)}{(5-2)(5+2)(5-3)(5+3)} = \frac{5 \cdot 1 \cdot 9}{3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 8} > 0$.

Все корни имеют нечетную кратность (1), поэтому знаки чередуются. Двигаясь справа налево, получаем знаки: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$, $-$, $+$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак $-$). Это интервалы $[-4, -3)$, $(-2, 2)$ и $(3, 4]$.

Объединяя эти интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in [-4, -3) \cup (-2, 2) \cup (3, 4]$