Страница 73 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.17. Решите неравенство:

1) $\frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3} \le 0;$

2) $\frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5} \ge 0;$

3) $\frac{x^2(x^2-1)}{x-4} > 0.$

Решим неравенство $\frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3} \le 0$ методом интервалов.

1. Находим нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых выражение может сменить знак.

Нули числителя: $(x-1)(x-2)^2 = 0$. Отсюда $x=1$ (корень нечетной кратности) и $x=2$ (корень четной кратности).

Нуль знаменателя: $(x-3)^3 = 0$. Отсюда $x=3$ (корень нечетной кратности). Область допустимых значений: $x \ne 3$.

2. Отметим найденные точки на числовой оси. Точки, где числитель равен нулю ($x=1, x=2$), отмечаем закрашенными кружками, так как неравенство нестрогое ($\le$). Точку, где знаменатель равен нулю ($x=3$), отмечаем выколотым кружком.

3. Определим знак выражения на каждом из полученных интервалов. При переходе через корень нечетной кратности ($x=1$ и $x=3$) знак меняется, а при переходе через корень четной кратности ($x=2$) — не меняется.

Проверим знак в крайнем правом интервале, взяв $x=4$: $\frac{(4-1)(4-2)^2}{(4-3)^3} = \frac{3 \cdot 2^2}{1^3} = 12 > 0$. Ставим знак "+".

Двигаясь справа налево, расставляем знаки:

• $(3, +\infty)$: +
• $(2, 3)$: - (знак сменился при переходе через $x=3$)
• $(1, 2)$: - (знак не сменился при переходе через $x=2$)
• $(-\infty, 1)$: + (знак сменился при переходе через $x=1$)

4. Выбираем интервалы, удовлетворяющие знаку "$\le 0$". Это интервалы $(1, 2)$ и $(2, 3)$. Также включаем точки, где выражение равно нулю, то есть $x=1$ и $x=2$. Объединив полученные промежутки и точки, получаем решение $[1, 3)$.

Ответ: $x \in [1, 3)$.

Решим неравенство $\frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5} \ge 0$ методом интервалов.

1. Находим нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $(x-1)^2(x+2)^3 = 0$. Отсюда $x=1$ (корень четной кратности) и $x=-2$ (корень нечетной кратности).

Нуль знаменателя: $x-5 = 0$. Отсюда $x=5$ (корень нечетной кратности). Область допустимых значений: $x \ne 5$.

2. Отметим точки на числовой оси: $x=-2$ и $x=1$ — закрашенные (неравенство нестрогое), $x=5$ — выколотая.

3. Определим знаки на интервалах. При переходе через $x=1$ (четная кратность) знак не меняется. При переходе через $x=-2$ и $x=5$ (нечетная кратность) знак меняется.

Проверим знак в крайнем правом интервале, взяв $x=6$: $\frac{(6-1)^2(6+2)^3}{6-5} > 0$. Ставим знак "+".

Расставляем знаки справа налево:

• $(5, +\infty)$: +
• $(1, 5)$: - (знак сменился при переходе через $x=5$)
• $(-2, 1)$: - (знак не сменился при переходе через $x=1$)
• $(-\infty, -2)$: + (знак сменился при переходе через $x=-2$)

4. Выбираем промежутки со знаком "$\ge 0$". Это интервалы $(-\infty, -2]$ и $(5, +\infty)$. Также, поскольку неравенство нестрогое, решением является точка $x=1$, в которой выражение равно нулю. Точка $x=-2$ уже включена в промежуток.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup \{1\} \cup (5, +\infty)$.

Решим неравенство $\frac{x^2(x^2-1)}{x-4} > 0$.

1. Преобразуем неравенство, разложив $x^2-1$ на множители: $\frac{x^2(x-1)(x+1)}{x-4} > 0$.

2. Находим нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x^2(x-1)(x+1) = 0$. Отсюда $x=0$ (корень четной кратности), $x=1$ (корень нечетной кратности) и $x=-1$ (корень нечетной кратности).

Нуль знаменателя: $x-4 = 0$. Отсюда $x=4$ (корень нечетной кратности). Область допустимых значений: $x \ne 4$.

3. Отметим точки на числовой оси: $x=-1, x=0, x=1, x=4$. Все точки выколотые, так как неравенство строгое ($>$).

4. Определим знаки на интервалах. При переходе через $x=0$ (четная кратность) знак не меняется. При переходе через $x=-1, x=1, x=4$ (нечетная кратность) знак меняется.

Проверим знак в крайнем правом интервале, взяв $x=5$: $\frac{5^2(5-1)(5+1)}{5-4} > 0$. Ставим знак "+".

Расставляем знаки справа налево:

• $(4, +\infty)$: +
• $(1, 4)$: - (знак сменился при переходе через $x=4$)
• $(0, 1)$: + (знак сменился при переходе через $x=1$)
• $(-1, 0)$: + (знак не сменился при переходе через $x=0$)
• $(-\infty, -1)$: - (знак сменился при переходе через $x=-1$)

5. Выбираем промежутки со знаком "$>$". Это интервалы $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (4, +\infty)$.

8.18. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \ge \frac{3}{x^2}$

2) $\frac{12}{x^2-4} - \frac{7}{x^2-9} \le 0$

1) $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \ge \frac{3}{x}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому:

$x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$

$x+1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$

$x \ne 0$

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства и приведем их к общему знаменателю $x(x-1)(x+1)$:

$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} - \frac{3}{x} \ge 0$

$\frac{x(x+1) + x(x-1) - 3(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} \ge 0$

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$x^2 + x + x^2 - x - 3(x^2-1) = 2x^2 - 3x^2 + 3 = 3 - x^2$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{3-x^2}{x(x-1)(x+1)} \ge 0$

Для решения используем метод интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя: $3 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x_1 = -\sqrt{3}, x_2 = \sqrt{3}$. Так как неравенство нестрогое, эти точки будут включены в ответ (закрашенные точки на оси).

Корни знаменателя: $x=0$, $x=1$, $x=-1$. Эти точки не входят в ОДЗ и всегда исключаются из ответа (выколотые точки на оси).

Отметим все корни на числовой оси в порядке возрастания: $-\sqrt{3}, -1, 0, 1, \sqrt{3}$.

Определим знак выражения на каждом из полученных интервалов. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=2$ (где $2 > \sqrt{3}$):

$\frac{3-2^2}{2(2-1)(2+1)} = \frac{3-4}{2 \cdot 1 \cdot 3} = \frac{-1}{6} < 0$.

Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки на интервалах будут чередоваться. Двигаясь справа налево, получаем знаки: $-, +, -, +, -, +$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак $+$). Это интервалы $(-\infty, -\sqrt{3}]$, $(-1, 0)$ и $(1, \sqrt{3}]$.

Объединяя эти интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup (-1, 0) \cup (1, \sqrt{3}] $

2) $\frac{12}{x^2-4} - \frac{7}{x^2-9} \le 0$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x^2-4 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 4 \Rightarrow x \ne \pm2$

$x^2-9 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 9 \Rightarrow x \ne \pm3$

ОДЗ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x^2-4)(x^2-9)$:

$\frac{12(x^2-9) - 7(x^2-4)}{(x^2-4)(x^2-9)} \le 0$

Упростим числитель:

$12x^2 - 108 - 7x^2 + 28 = 5x^2 - 80 = 5(x^2-16) = 5(x-4)(x+4)$.

Разложим знаменатель на множители:

$(x^2-4)(x^2-9) = (x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{5(x-4)(x+4)}{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)} \le 0$

Решаем методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя: $x-4=0 \Rightarrow x=4$; $x+4=0 \Rightarrow x=-4$. Эти точки включаются в решение.

Корни знаменателя: $x=\pm2$, $x=\pm3$. Эти точки исключаются из решения.

Отметим все корни на числовой оси в порядке возрастания: $-4, -3, -2, 2, 3, 4$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв $x=5$:

$\frac{5(5-4)(5+4)}{(5-2)(5+2)(5-3)(5+3)} = \frac{5 \cdot 1 \cdot 9}{3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 8} > 0$.

Все корни имеют нечетную кратность (1), поэтому знаки чередуются. Двигаясь справа налево, получаем знаки: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$, $-$, $+$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак $-$). Это интервалы $[-4, -3)$, $(-2, 2)$ и $(3, 4]$.

Объединяя эти интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in [-4, -3) \cup (-2, 2) \cup (3, 4]$

8.19. Решите неравенство:

1) $\frac{2(x-3)}{x(x-6)} < \frac{1}{x-1}$;

2) $\frac{2x+3}{x^2+x-12} < \frac{1}{2}$.

1) $\frac{2(x-3)}{x(x-6)} < \frac{1}{x-1}$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{2(x-3)}{x(x-6)} - \frac{1}{x-1} < 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-6)(x-1)$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0, x \neq 1, x \neq 6$.

$\frac{2(x-3)(x-1) - x(x-6)}{x(x-6)(x-1)} < 0$

Упростим числитель:

$2(x^2 - x - 3x + 3) - (x^2 - 6x) = 2(x^2 - 4x + 3) - x^2 + 6x = 2x^2 - 8x + 6 - x^2 + 6x = x^2 - 2x + 6$

Неравенство принимает вид:

$\frac{x^2 - 2x + 6}{x(x-6)(x-1)} < 0$

Рассмотрим числитель $x^2 - 2x + 6$. Найдем его дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$. Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1>0$), то выражение $x^2 - 2x + 6$ всегда положительно.

Так как числитель всегда положителен, знак дроби определяется знаком знаменателя. Таким образом, нам нужно решить неравенство:

$x(x-6)(x-1) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни выражения в левой части: $0, 1, 6$. Нанесем эти точки на числовую прямую и определим знаки на полученных интервалах:

• При $x > 6$: $(+)(+)(+) > 0$
• При $1 < x < 6$: $(+)(-)(+) < 0$
• При $0 < x < 1$: $(+)(-)(-) > 0$
• При $x < 0$: $(-)(-)(-) < 0$

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty, 0)$ и $(1, 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, 6)$.

2) $\frac{2x+3}{x^2+x-12} < \frac{1}{2}$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{2x+3}{x^2+x-12} - \frac{1}{2} < 0$

Разложим знаменатель $x^2+x-12$ на множители. Корни квадратного трехчлена $x^2+x-12=0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Таким образом, $x^2+x-12 = (x-3)(x+4)$. ОДЗ: $x \neq 3, x \neq -4$.

$\frac{2x+3}{(x-3)(x+4)} - \frac{1}{2} < 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(x-3)(x+4)$:

$\frac{2(2x+3) - 1(x-3)(x+4)}{2(x-3)(x+4)} < 0$

Упростим числитель:

$2(2x+3) - (x^2+4x-3x-12) = 4x+6 - (x^2+x-12) = 4x+6 - x^2 - x + 12 = -x^2+3x+18$

Неравенство принимает вид:

$\frac{-x^2+3x+18}{2(x-3)(x+4)} < 0$

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2-3x-18}{2(x-3)(x+4)} > 0$

Разложим числитель $x^2-3x-18$ на множители. Корни уравнения $x^2-3x-18=0$ равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2-3x-18 = (x-6)(x+3)$.

$\frac{(x-6)(x+3)}{2(x-3)(x+4)} > 0$

Поскольку константа 2 в знаменателе не влияет на знак дроби, решаем неравенство:

$\frac{(x-6)(x+3)}{(x-3)(x+4)} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $-4, -3, 3, 6$. Нанесем эти точки (выколотые) на числовую прямую и определим знаки на полученных интервалах:

• При $x > 6$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$
• При $3 < x < 6$: $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$
• При $-3 < x < 3$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$
• При $-4 < x < -3$: $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$
• При $x < -4$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-\infty, -4)$, $(-3, 3)$ и $(6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, 3) \cup (6, +\infty)$.

8.20. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \le 0;$

2) $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \ge 0;$

3) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \le 0;$

4) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \ge 0.$

1) $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \le 0$

Данное неравенство равносильно совокупности двух случаев:

Случай 1: Выражение под корнем равно нулю.

$x^2 - 4 = 0 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$.

В этих точках неравенство принимает вид $0 \le 0$, что является верным. Следовательно, $x=-2$ и $x=2$ являются решениями.

Случай 2: Выражение под корнем строго больше нуля, а первый множитель меньше или равен нулю.

Это соответствует системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x^2 - 1 \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 > 4 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 \le 1 \implies x \in [-1, 1]$.

Найдём пересечение решений системы: $( (-\infty, -2) \cup (2, \infty) ) \cap [-1, 1] = \emptyset$. Система не имеет решений.

Объединяя решения из двух случаев, получаем только решения из первого случая.

Ответ: $\{-2, 2\}$

2) $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \ge 0$

Данное неравенство равносильно совокупности двух случаев:

Случай 1: Выражение под корнем равно нулю.

$x^2 - 4 = 0 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$.

Эти значения являются решениями, так как неравенство обращается в верное равенство $0 \ge 0$.

Случай 2: Выражение под корнем строго больше нуля, и первый множитель больше или равен нулю.

Это соответствует системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 > 4 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 \ge 1 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Найдём пересечение решений системы: $( (-\infty, -2) \cup (2, \infty) ) \cap ( (-\infty, -1] \cup [1, \infty) ) = (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем: $\{-2, 2\} \cup (-\infty, -2) \cup (2, \infty) = (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$

3) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \le 0$

Неравенство равносильно совокупности двух случаев:

Случай 1: $x^2 - 7x + 10 = 0$.

Найдём корни по теореме Виета: $x_1+x_2=7, x_1x_2=10$. Корни: $x_1=2, x_2=5$.

Эти значения являются решениями ($0 \le 0$).

Случай 2: $\begin{cases} x^2 - 7x + 10 > 0 \\ x^2 - 5x + 4 \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $(x-2)(x-5) > 0 \implies x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.

Решим второе неравенство: $(x-1)(x-4) \le 0$. Корни $x=1, x=4$. Решение: $x \in [1, 4]$.

Найдём пересечение решений системы: $( (-\infty, 2) \cup (5, \infty) ) \cap [1, 4] = [1, 2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем: $\{2, 5\} \cup [1, 2) = [1, 2] \cup \{5\}$.

Ответ: $[1, 2] \cup \{5\}$

4) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \ge 0$

Неравенство равносильно совокупности двух случаев:

Случай 1: $x^2 - 7x + 10 = 0$.

Корни уравнения: $x_1=2, x_2=5$. Эти значения являются решениями ($0 \ge 0$).

Случай 2: $\begin{cases} x^2 - 7x + 10 > 0 \\ x^2 - 5x + 4 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $(x-2)(x-5) > 0 \implies x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.

Решим второе неравенство: $(x-1)(x-4) \ge 0$. Корни $x=1, x=4$. Решение: $x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$.

Найдём пересечение решений системы: $( (-\infty, 2) \cup (5, \infty) ) \cap ( (-\infty, 1] \cup [4, \infty) ) = (-\infty, 1] \cup (5, \infty)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем: $\{2, 5\} \cup (-\infty, 1] \cup (5, \infty) = (-\infty, 1] \cup \{2\} \cup [5, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, 1] \cup \{2\} \cup [5, \infty)$

8.21. Решите неравенство:

1) $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} > 0;$

2) $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} \le 0;$

3) $(x^2-25)\sqrt{16-x^2} > 0;$

4) $(x^2-25)\sqrt{16-x^2} \ge 0.$

1) Решим неравенство $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} > 0$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Поткоренное выражение должно быть неотрицательным:
$14+5x-x^2 \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x^2 - 5x - 14 \le 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x - 14$. По теореме Виета, $x_1 = -2$ и $x_2 = 7$.
Так как парабола $y = x^2 - 5x - 14$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется между корнями. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-2, 7]$.
Теперь вернемся к исходному неравенству. Произведение $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2}$ будет строго больше нуля только тогда, когда оба множителя строго положительны, так как $\sqrt{14+5x-x^2} \ge 0$.
Это равносильно системе:
$\begin{cases} x-3 > 0 \\ \sqrt{14+5x-x^2} > 0 \end{cases}$
Из второго неравенства следует, что $14+5x-x^2 > 0$, то есть $x \in (-2, 7)$.
Из первого неравенства следует, что $x > 3$.
Найдем пересечение решений системы: $x \in (-2, 7)$ и $x > 3$.
Пересечением является интервал $(3, 7)$.
Ответ: $(3, 7)$.

2) Решим неравенство $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} \le 0$.
ОДЗ, как и в предыдущем пункте, $x \in [-2, 7]$.
Неравенство выполняется, если:
а) Произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю.
$x-3=0 \Rightarrow x=3$.
$\sqrt{14+5x-x^2}=0 \Rightarrow 14+5x-x^2=0 \Rightarrow x=-2$ или $x=7$.
Все эти значения ($x=-2, x=3, x=7$) входят в ОДЗ и являются решениями.
б) Произведение меньше нуля. Так как $\sqrt{14+5x-x^2}$ на ОДЗ всегда неотрицателен, для отрицательности произведения необходимо, чтобы $\sqrt{14+5x-x^2} > 0$ и $x-3 < 0$.
Это равносильно системе:
$\begin{cases} x-3 < 0 \\ 14+5x-x^2 > 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $x < 3$.
Из второго неравенства получаем $x \in (-2, 7)$.
Пересечение этих условий дает $x \in (-2, 3)$.
Объединяя решения из пунктов а) и б), получаем: $x \in (-2, 3) \cup \{-2, 3, 7\}$.
Это можно записать как $x \in [-2, 3] \cup \{7\}$.
Ответ: $[-2, 3] \cup \{7\}$.

3) Решим неравенство $(x^2-25)\sqrt{16-x^2} > 0$.
Найдем ОДЗ: $16-x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 16 \Rightarrow -4 \le x \le 4$. Итак, ОДЗ: $x \in [-4, 4]$.
Для того чтобы произведение было строго положительным, оба множителя должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x^2-25 > 0 \\ \sqrt{16-x^2} > 0 \end{cases}$
Решим эту систему.
Из первого неравенства $x^2 > 25$ следует, что $x < -5$ или $x > 5$.
Из второго неравенства $16-x^2 > 0$ следует, что $x^2 < 16$, то есть $-4 < x < 4$.
Найдем пересечение множеств $(-\infty, -5) \cup (5, \infty)$ и $(-4, 4)$. Эти множества не пересекаются.
Следовательно, система, а значит и исходное неравенство, не имеет решений.
Можно рассуждать иначе: для любого $x$ из ОДЗ $x \in [-4, 4]$, имеем $x^2 \le 16$. Тогда $x^2-25 \le 16-25 = -9$. То есть первый множитель $(x^2-25)$ всегда отрицателен (или равен -9 при $x=\pm4$), а второй множитель $\sqrt{16-x^2}$ всегда неотрицателен. Их произведение никогда не может быть строго положительным.
Ответ: $\emptyset$.

4) Решим неравенство $(x^2-25)\sqrt{16-x^2} \ge 0$.
ОДЗ: $x \in [-4, 4]$.
Как мы установили в предыдущем пункте, для любого $x$ из ОДЗ $x \in [-4, 4]$, множитель $x^2-25$ является отрицательным, а множитель $\sqrt{16-x^2}$ является неотрицательным.
Произведение отрицательного числа и неотрицательного числа всегда будет неположительным (меньше или равно нулю).
Таким образом, неравенство $(x^2-25)\sqrt{16-x^2} \ge 0$ может выполняться только в том случае, когда левая часть равна нулю.
$(x^2-25)\sqrt{16-x^2} = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x^2-25 = 0 \Rightarrow x = \pm 5$. Эти корни не входят в ОДЗ $x \in [-4, 4]$.
$\sqrt{16-x^2} = 0 \Rightarrow 16-x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 4$. Эти корни входят в ОДЗ.
Следовательно, единственными решениями неравенства являются $x=-4$ и $x=4$.
Ответ: $\{-4, 4\}$.

8.22. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $(x - 3)(x - a) < 0;$

2) $(x - 3)(x - a)^2 > 0;$

3) $(x - 3)(x - a)^2 \ge 0;$

4) $(x - a)(x + 5)^2 < 0;$

5) $(x - a)(x + 5)^2 \le 0;$

6) $\frac{(x + 1)(x - a)}{x - a} \le 0.$

Это квадратное неравенство $(x-3)(x-a) < 0$. Корни соответствующего уравнения $(x-3)(x-a)=0$ равны $x_1=3$ и $x_2=a$. Решение зависит от взаимного расположения корней на числовой оси.

Рассмотрим три случая:

1. Если $a < 3$. Корни на числовой оси располагаются в порядке $a$, 3. Ветви параболы $y=(x-3)(x-a)$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями. Таким образом, $x \in (a, 3)$.

2. Если $a = 3$. Неравенство принимает вид $(x-3)^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому решений нет.

3. Если $a > 3$. Корни на числовой оси располагаются в порядке 3, $a$. Неравенство выполняется между корнями. Таким образом, $x \in (3, a)$.

Ответ: если $a < 3$, то $x \in (a, 3)$; если $a = 3$, то решений нет; если $a > 3$, то $x \in (3, a)$.

В неравенстве $(x-3)(x-a)^2 > 0$ выражение $(x-a)^2$ всегда неотрицательно, т.е. $(x-a)^2 \ge 0$.

Для выполнения строгого неравенства необходимо, чтобы оба множителя были положительны, так как $(x-a)^2$ не может быть отрицательным. Это приводит к системе:

$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ (x - a)^2 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x > 3$. Из второго неравенства получаем $x \neq a$.

Таким образом, решение - это все $x > 3$, за исключением $x=a$. Рассмотрим взаимное расположение $a$ и 3.

1. Если $a \le 3$. Точка $a$ не попадает в интервал $(3, \infty)$. Следовательно, условие $x \neq a$ для $x > 3$ выполняется автоматически. Решением будет $x \in (3, \infty)$.

2. Если $a > 3$. Точка $a$ попадает в интервал $(3, \infty)$, и ее необходимо исключить. Решением будет $x \in (3, a) \cup (a, \infty)$.

Ответ: если $a \le 3$, то $x \in (3, \infty)$; если $a > 3$, то $x \in (3, a) \cup (a, \infty)$.

Данное нестрогое неравенство $(x-3)(x-a)^2 \ge 0$ выполняется в двух случаях:

1. Когда выражение равно нулю: $(x-3)(x-a)^2 = 0$. Это происходит при $x=3$ или $x=a$.

2. Когда выражение строго больше нуля: $(x-3)(x-a)^2 > 0$. Как было показано в предыдущем пункте, это происходит при $x > 3$ и $x \neq a$.

Объединим эти решения. Множество решений есть $\{3, a\} \cup \{x \mid x > 3, x \neq a\}$.

Рассмотрим различные значения $a$:

1. Если $a < 3$. Объединяем точки $\{a, 3\}$ и интервал $(3, \infty)$. Получаем $\{a\} \cup [3, \infty)$.

2. Если $a = 3$. Неравенство принимает вид $(x-3)^3 \ge 0$, что равносильно $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$. Решение $x \in [3, \infty)$.

3. Если $a > 3$. Объединяем $\{3, a\}$ и $(3, a) \cup (a, \infty)$. Получаем $[3, \infty)$.

Объединив второй и третий случаи, получаем окончательный ответ.

Ответ: если $a < 3$, то $x \in \{a\} \cup [3, \infty)$; если $a \ge 3$, то $x \in [3, \infty)$.

В неравенстве $(x-a)(x+5)^2 < 0$ множитель $(x+5)^2$ всегда неотрицателен. Для выполнения строгого неравенства необходимо, чтобы $(x+5)^2$ был строго положителен, а $(x-a)$ - строго отрицателен.

Это приводит к системе:

$\begin{cases} x - a < 0 \\ (x + 5)^2 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x < a$. Из второго - $x \neq -5$.

Итак, решение - это все $x < a$, за исключением $x = -5$.

Рассмотрим взаимное расположение $a$ и -5.

1. Если $a \le -5$. Точка $x=-5$ не входит в интервал $(-\infty, a)$, поэтому условие $x \neq -5$ для $x < a$ выполняется автоматически. Решением будет $x \in (-\infty, a)$.

2. Если $a > -5$. Точка $x=-5$ попадает в интервал $(-\infty, a)$, и ее необходимо исключить. Решением будет $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, a)$.

Ответ: если $a \le -5$, то $x \in (-\infty, a)$; если $a > -5$, то $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, a)$.

Неравенство $(x-a)(x+5)^2 \le 0$ выполняется, когда выражение равно нулю или меньше нуля.

1. Равенство нулю: $(x-a)(x+5)^2 = 0$ при $x=a$ или $x=-5$.

2. Строго меньше нуля: $(x-a)(x+5)^2 < 0$. Как было показано в предыдущем пункте, это происходит при $x < a$ и $x \neq -5$.

Объединим решения: $\{a, -5\} \cup \{x \mid x < a, x \neq -5\}$.

Рассмотрим различные значения $a$:

1. Если $a < -5$. Объединяем $\{a, -5\}$ и $(-\infty, a)$. Получаем $(-\infty, a] \cup \{-5\}$.

2. Если $a = -5$. Неравенство принимает вид $(x+5)^3 \le 0$, что равносильно $x+5 \le 0$, откуда $x \le -5$. Решение $x \in (-\infty, -5]$.

3. Если $a > -5$. Объединяем $\{a, -5\}$ и $(-\infty, -5) \cup (-5, a)$. Получаем $(-\infty, a]$.

Объединив второй и третий случаи, получаем окончательный ответ.

Ответ: если $a < -5$, то $x \in (-\infty, a] \cup \{-5\}$; если $a \ge -5$, то $x \in (-\infty, a]$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для неравенства $\frac{(x+1)(x-a)}{x-a} \le 0$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x-a \neq 0$, то есть $x \neq a$.

При условии $x \neq a$ мы можем сократить дробь на $(x-a)$. Неравенство примет вид:

$x+1 \le 0$

Решая это простое неравенство, получаем $x \le -1$.

Таким образом, общее решение - это система условий:

$\begin{cases} x \le -1 \\ x \neq a \end{cases}$

Решение зависит от того, принадлежит ли значение $a$ промежутку $(-\infty, -1]$.

1. Если $a > -1$. Значение $a$ не попадает в промежуток $(-\infty, -1]$, поэтому второе условие $x \neq a$ не накладывает дополнительных ограничений на решение $x \le -1$. В этом случае $x \in (-\infty, -1]$.

2. Если $a \le -1$. Значение $a$ попадает в промежуток $(-\infty, -1]$, и его необходимо исключить. Решением будет $x \in (-\infty, a) \cup (a, -1]$.

Ответ: если $a > -1$, то $x \in (-\infty, -1]$; если $a \le -1$, то $x \in (-\infty, a) \cup (a, -1]$.