Номер 8.22, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.22. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $(x - 3)(x - a) < 0;$

2) $(x - 3)(x - a)^2 > 0;$

3) $(x - 3)(x - a)^2 \ge 0;$

4) $(x - a)(x + 5)^2 < 0;$

5) $(x - a)(x + 5)^2 \le 0;$

6) $\frac{(x + 1)(x - a)}{x - a} \le 0.$

Это квадратное неравенство $(x-3)(x-a) < 0$. Корни соответствующего уравнения $(x-3)(x-a)=0$ равны $x_1=3$ и $x_2=a$. Решение зависит от взаимного расположения корней на числовой оси.

Рассмотрим три случая:

1. Если $a < 3$. Корни на числовой оси располагаются в порядке $a$, 3. Ветви параболы $y=(x-3)(x-a)$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями. Таким образом, $x \in (a, 3)$.

2. Если $a = 3$. Неравенство принимает вид $(x-3)^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому решений нет.

3. Если $a > 3$. Корни на числовой оси располагаются в порядке 3, $a$. Неравенство выполняется между корнями. Таким образом, $x \in (3, a)$.

Ответ: если $a < 3$, то $x \in (a, 3)$; если $a = 3$, то решений нет; если $a > 3$, то $x \in (3, a)$.

В неравенстве $(x-3)(x-a)^2 > 0$ выражение $(x-a)^2$ всегда неотрицательно, т.е. $(x-a)^2 \ge 0$.

Для выполнения строгого неравенства необходимо, чтобы оба множителя были положительны, так как $(x-a)^2$ не может быть отрицательным. Это приводит к системе:

$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ (x - a)^2 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x > 3$. Из второго неравенства получаем $x \neq a$.

Таким образом, решение - это все $x > 3$, за исключением $x=a$. Рассмотрим взаимное расположение $a$ и 3.

1. Если $a \le 3$. Точка $a$ не попадает в интервал $(3, \infty)$. Следовательно, условие $x \neq a$ для $x > 3$ выполняется автоматически. Решением будет $x \in (3, \infty)$.

2. Если $a > 3$. Точка $a$ попадает в интервал $(3, \infty)$, и ее необходимо исключить. Решением будет $x \in (3, a) \cup (a, \infty)$.

Ответ: если $a \le 3$, то $x \in (3, \infty)$; если $a > 3$, то $x \in (3, a) \cup (a, \infty)$.

Данное нестрогое неравенство $(x-3)(x-a)^2 \ge 0$ выполняется в двух случаях:

1. Когда выражение равно нулю: $(x-3)(x-a)^2 = 0$. Это происходит при $x=3$ или $x=a$.

2. Когда выражение строго больше нуля: $(x-3)(x-a)^2 > 0$. Как было показано в предыдущем пункте, это происходит при $x > 3$ и $x \neq a$.

Объединим эти решения. Множество решений есть $\{3, a\} \cup \{x \mid x > 3, x \neq a\}$.

Рассмотрим различные значения $a$:

1. Если $a < 3$. Объединяем точки $\{a, 3\}$ и интервал $(3, \infty)$. Получаем $\{a\} \cup [3, \infty)$.

2. Если $a = 3$. Неравенство принимает вид $(x-3)^3 \ge 0$, что равносильно $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$. Решение $x \in [3, \infty)$.

3. Если $a > 3$. Объединяем $\{3, a\}$ и $(3, a) \cup (a, \infty)$. Получаем $[3, \infty)$.

Объединив второй и третий случаи, получаем окончательный ответ.

Ответ: если $a < 3$, то $x \in \{a\} \cup [3, \infty)$; если $a \ge 3$, то $x \in [3, \infty)$.

В неравенстве $(x-a)(x+5)^2 < 0$ множитель $(x+5)^2$ всегда неотрицателен. Для выполнения строгого неравенства необходимо, чтобы $(x+5)^2$ был строго положителен, а $(x-a)$ - строго отрицателен.

Это приводит к системе:

$\begin{cases} x - a < 0 \\ (x + 5)^2 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x < a$. Из второго - $x \neq -5$.

Итак, решение - это все $x < a$, за исключением $x = -5$.

Рассмотрим взаимное расположение $a$ и -5.

1. Если $a \le -5$. Точка $x=-5$ не входит в интервал $(-\infty, a)$, поэтому условие $x \neq -5$ для $x < a$ выполняется автоматически. Решением будет $x \in (-\infty, a)$.

2. Если $a > -5$. Точка $x=-5$ попадает в интервал $(-\infty, a)$, и ее необходимо исключить. Решением будет $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, a)$.

Ответ: если $a \le -5$, то $x \in (-\infty, a)$; если $a > -5$, то $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, a)$.

Неравенство $(x-a)(x+5)^2 \le 0$ выполняется, когда выражение равно нулю или меньше нуля.

1. Равенство нулю: $(x-a)(x+5)^2 = 0$ при $x=a$ или $x=-5$.

2. Строго меньше нуля: $(x-a)(x+5)^2 < 0$. Как было показано в предыдущем пункте, это происходит при $x < a$ и $x \neq -5$.

Объединим решения: $\{a, -5\} \cup \{x \mid x < a, x \neq -5\}$.

Рассмотрим различные значения $a$:

1. Если $a < -5$. Объединяем $\{a, -5\}$ и $(-\infty, a)$. Получаем $(-\infty, a] \cup \{-5\}$.

2. Если $a = -5$. Неравенство принимает вид $(x+5)^3 \le 0$, что равносильно $x+5 \le 0$, откуда $x \le -5$. Решение $x \in (-\infty, -5]$.

3. Если $a > -5$. Объединяем $\{a, -5\}$ и $(-\infty, -5) \cup (-5, a)$. Получаем $(-\infty, a]$.

Объединив второй и третий случаи, получаем окончательный ответ.

Ответ: если $a < -5$, то $x \in (-\infty, a] \cup \{-5\}$; если $a \ge -5$, то $x \in (-\infty, a]$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для неравенства $\frac{(x+1)(x-a)}{x-a} \le 0$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x-a \neq 0$, то есть $x \neq a$.

При условии $x \neq a$ мы можем сократить дробь на $(x-a)$. Неравенство примет вид:

$x+1 \le 0$

Решая это простое неравенство, получаем $x \le -1$.

Таким образом, общее решение - это система условий:

$\begin{cases} x \le -1 \\ x \neq a \end{cases}$

Решение зависит от того, принадлежит ли значение $a$ промежутку $(-\infty, -1]$.

1. Если $a > -1$. Значение $a$ не попадает в промежуток $(-\infty, -1]$, поэтому второе условие $x \neq a$ не накладывает дополнительных ограничений на решение $x \le -1$. В этом случае $x \in (-\infty, -1]$.

2. Если $a \le -1$. Значение $a$ попадает в промежуток $(-\infty, -1]$, и его необходимо исключить. Решением будет $x \in (-\infty, a) \cup (a, -1]$.

Ответ: если $a > -1$, то $x \in (-\infty, -1]$; если $a \le -1$, то $x \in (-\infty, a) \cup (a, -1]$.