Номер 8.16, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.16. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5} > 0;$

3) $\frac{x^5 |3x-1|(x+3)}{x-2} \le 0;$

2) $\frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{(x-1)(x+4)^2} \ge 0;$

4) $\frac{(2-x)(4x+3)}{(x-3)^3(x+1)^2} \le 0.$

1) $ \frac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5} > 0 $

Для решения используем метод интервалов. Сначала преобразуем неравенство. Так как $(3-x)^4 = (x-3)^4 \ge 0$ при любом $x$ (и равен 0 при $x=3$), а знак неравенства строгий ($>0$), мы можем заменить этот множитель на 1, исключив точку $x=3$ из области допустимых значений (ОДЗ). Множители в нечетных степенях $((2x+1)^3$ и $(1-5x)^5)$ можно заменить на те же выражения в первой степени, так как это не влияет на знак дроби.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} \frac{(x-2)(2x+1)}{1-5x} > 0 \\ x \neq 3 \end{cases} $

Приведем множитель $(1-5x)$ к виду с положительным коэффициентом при $x$: $1-5x = -(5x-1)$.

$ \frac{(x-2)(2x+1)}{-(5x-1)} > 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \frac{(x-2)(2x+1)}{5x-1} < 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя:
$x-2=0 \implies x=2$
$2x+1=0 \implies x=-1/2$
$5x-1=0 \implies x=1/5$

Отметим эти точки ($ -1/2, 1/5, 2 $) на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения в крайнем правом интервале (например, при $x=10$): $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $. Далее знаки чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность.

Знаки на интервалах: $(-\infty; -1/2) \rightarrow -$; $(-1/2; 1/5) \rightarrow +$; $(1/5; 2) \rightarrow -$; $(2; +\infty) \rightarrow +$.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty; -1/2)$ и $(1/5; 2)$. Условие $x \neq 3$ выполняется, так как эта точка не входит в найденные интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (1/5; 2)$.

2) $ \frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{(x-1)(x+4)^2} \geq 0 $

Решаем методом интервалов. Множитель $(x+4)^2$ в знаменателе всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=-4$, поэтому ОДЗ: $x \neq -4$. Для всех $x \neq -4$ этот множитель положителен и не влияет на знак дроби. Исключив $x=-4$ из ОДЗ, мы можем упростить неравенство:

$ \frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{x-1} \geq 0 $

Находим нули числителя и знаменателя:
Нули числителя (включаются в решение, так как неравенство нестрогое): $x=3, x=-2/5, x=-3$.
Нули знаменателя (исключаются из решения): $x=1$.

Отмечаем точки $-3, -2/5, 1, 3$ на числовой оси и определяем знаки. При $x>3$ все множители положительны, значит, на интервале $(3; +\infty)$ выражение положительно. Далее знаки чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность.

Знаки на интервалах: $(-\infty; -3] \rightarrow +$; $[-3; -2/5] \rightarrow -$; $[-2/5; 1) \rightarrow +$; $(1; 3] \rightarrow -$; $[3; +\infty) \rightarrow +$.

Выбираем интервалы со знаком "+", включая концы, которые являются нулями числителя: $(-\infty; -3] \cup [-2/5; 1) \cup [3; +\infty)$.

Теперь учтем ОДЗ $x \neq -4$. Точка $x=-4$ попадает в первый интервал. Окончательное решение получается путем исключения этой точки.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -3] \cup [-2/5; 1) \cup [3; +\infty)$.

3) $ \frac{x^5 |3x-1|(x+3)}{x-2} \leq 0 $

Множитель $|3x-1|$ всегда неотрицателен ($|3x-1| \geq 0$). Рассмотрим два случая.
1) Левая часть неравенства равна нулю. Это происходит, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен.
$x^5=0 \implies x=0$
$|3x-1|=0 \implies x=1/3$
$x+3=0 \implies x=-3$
Все эти значения являются решениями, так как неравенство нестрогое ($\leq 0$).

2) Левая часть неравенства строго меньше нуля.
$ \frac{x^5 |3x-1|(x+3)}{x-2} < 0 $
Для этого $x \neq 1/3$, и тогда $|3x-1| > 0$. Можем разделить неравенство на этот положительный множитель.
$ \frac{x^5(x+3)}{x-2} < 0 $
Так как показатель степени $x^5$ нечетный, знак $x^5$ совпадает со знаком $x$. Неравенство равносильно:
$ \frac{x(x+3)}{x-2} < 0 $
Решаем методом интервалов. Нули: $x=-3, x=0, x=2$.
При $x>2$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Знаки на интервалах: $(-\infty; -3) \rightarrow -$; $(-3; 0) \rightarrow +$; $(0; 2) \rightarrow -$; $(2; +\infty) \rightarrow +$.
Выбираем интервалы со знаком "-": $(-\infty; -3) \cup (0; 2)$.

Объединяем решения из обоих случаев: $\{ -3, 0, 1/3 \} \cup (-\infty; -3) \cup (0; 2)$.
Это дает нам $(-\infty; -3] \cup [0; 2)$. Точка $x=1/3$ уже входит в интервал $[0; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [0; 2)$.

4) $ \frac{(2-x)(4x+3)}{(x-3)^3(x+1)^2} \leq 0 $

Преобразуем неравенство, чтобы коэффициент при $x$ в множителе $(2-x)$ был положительным: $2-x = -(x-2)$.

$ \frac{-(x-2)(4x+3)}{(x-3)^3(x+1)^2} \leq 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \frac{(x-2)(4x+3)}{(x-3)^3(x+1)^2} \geq 0 $

Решаем полученное неравенство методом интервалов.
Множитель $(x+1)^2$ в знаменателе всегда неотрицателен. ОДЗ: $x \neq -1$. Для $x \neq -1$ этот множитель положителен и не влияет на знак дроби.
Неравенство (с учетом $x \neq -1$) равносильно:

$ \frac{(x-2)(4x+3)}{(x-3)^3} \geq 0 $

Поскольку показатель степени $(x-3)^3$ нечетный, знак $(x-3)^3$ совпадает со знаком $(x-3)$. Неравенство равносильно:

$ \frac{(x-2)(4x+3)}{x-3} \geq 0 $

Нули числителя (включаются в решение): $x=2, x=-3/4$.
Нуль знаменателя (исключается): $x=3$.

Отмечаем точки $-3/4, 2, 3$ на числовой оси. При $x>3$ все множители положительны, значит, выражение положительно. Далее знаки чередуются.

Знаки на интервалах: $(-\infty; -3/4] \rightarrow -$; $[-3/4; 2] \rightarrow +$; $[2; 3) \rightarrow -$; $(3; +\infty) \rightarrow +$.

Выбираем интервалы со знаком "+": $[-3/4; 2] \cup (3; +\infty)$.

Учтем ОДЗ $x \neq -1$. Точка $x=-1$ не попадает в найденное множество решений, поэтому ничего менять не нужно.

Ответ: $x \in [-3/4; 2] \cup (3; +\infty)$.