Номер 8.9, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.9. Решите неравенство:

1) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) < 0$;

2) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \le 0$;

3) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) > 0$;

4) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \ge 0$.

Для решения всех неравенств рассмотрим функцию $f(x) = (x - 4)^2(x^2 - 7x + 10)$ и применим метод интервалов.

Сначала разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 7x + 10$. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 10, следовательно, корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Таким образом, $x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$.

Теперь функция имеет вид: $f(x) = (x - 4)^2(x - 2)(x - 5)$.

Нулями функции (точками, где $f(x)=0$) являются $x = 2$, $x = 4$ и $x = 5$. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, 2)$, $(2, 4)$, $(4, 5)$ и $(5, \infty)$.

Определим знак функции в каждом интервале. Обратим внимание, что множитель $(x - 4)^2$ соответствует корню $x=4$ четной кратности (2), поэтому при переходе через эту точку знак функции не меняется. Корни $x=2$ и $x=5$ имеют нечетную кратность (1), и знак функции при переходе через них будет меняться.

Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(5, \infty)$, например, $x=6$:

$f(6) = (6 - 4)^2(6 - 2)(6 - 5) = 2^2 \cdot 4 \cdot 1 = 16 > 0$.

Расставим знаки на интервалах, двигаясь справа налево:

• $(5, \infty)$: +
• $(4, 5)$: - (знак сменился при переходе через $x=5$)
• $(2, 4)$: - (знак не сменился при переходе через $x=4$)
• $(-\infty, 2)$: + (знак сменился при переходе через $x=2$)

Теперь, используя эту информацию, решим каждое неравенство.

1) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) < 0$

Требуется найти, где $f(x) < 0$. Согласно нашей схеме знаков, это происходит на интервалах $(2, 4)$ и $(4, 5)$. Так как неравенство строгое, точки, где $f(x)=0$, не включаются.

Ответ: $(2, 4) \cup (4, 5)$.

2) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \leq 0$

Требуется найти, где $f(x) \le 0$. Это включает интервалы, где функция отрицательна, и точки, где она равна нулю. Интервалы, где $f(x)<0$: $(2, 4) \cup (4, 5)$. Точки, где $f(x)=0$: $x=2, x=4, x=5$. Объединяя эти множества, получаем отрезок $[2, 5]$.

Ответ: $[2, 5]$.

3) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) > 0$

Требуется найти, где $f(x) > 0$. Согласно нашей схеме знаков, это происходит на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(5, \infty)$. Так как неравенство строгое, точки, где $f(x)=0$, не включаются.

Ответ: $(-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.

4) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \geq 0$

Требуется найти, где $f(x) \ge 0$. Это включает интервалы, где функция положительна, и точки, где она равна нулю. Интервалы, где $f(x)>0$: $(-\infty, 2) \cup (5, \infty)$. Точки, где $f(x)=0$: $x=2, x=4, x=5$. Объединяя эти множества, получаем $(-\infty, 2] \cup [5, \infty)$ и отдельно стоящую точку $x=4$.

Ответ: $(-\infty, 2] \cup \{4\} \cup [5, \infty)$.