Номер 8.2, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.2. Решите неравенство:

1) $(x+3)(x-1)(x+4) < 0;$

2) $(x-7)(x+8)(x-12) \geq 0;$

3) $(1-3x)(x+2)(3-x) < 0;$

4) $x(5-x)(6-x) \leq 0.$

Для решения данных неравенств используется метод интервалов.

1) $(x+3)(x-1)(x+4) < 0$

1. Найдём корни выражения, приравняв его к нулю:
$(x+3)(x-1)(x+4) = 0$
Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 1$, $x_3 = -4$.

2. Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -4, -3, 1. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; -3)$, $(-3; 1)$, $(1; +\infty)$.

3. Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмём пробную точку из крайнего правого интервала $(1; +\infty)$, например, $x=2$:
$(2+3)(2-1)(2+4) = 5 \cdot 1 \cdot 6 = 30 > 0$. Знак "+".
Так как все корни имеют нечётную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться:

 - + - +----o---------o---------o----> -4 -3 1 x

4. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это интервалы $(-\infty; -4)$ и $(-3; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; 1)$.

2) $(x-7)(x+8)(x-12) \ge 0$

1. Найдём корни выражения:
$(x-7)(x+8)(x-12) = 0$
Корни: $x_1 = 7$, $x_2 = -8$, $x_3 = 12$.

2. Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -8, 7, 12. Так как неравенство нестрогое, точки будут закрашенными. Они разбивают прямую на четыре интервала.

3. Определим знаки в интервалах. Возьмём пробную точку из $(12; +\infty)$, например, $x=13$:
$(13-7)(13+8)(13-12) = 6 \cdot 21 \cdot 1 > 0$. Знак "+".
Знаки чередуются:

 - + - +----•---------•---------•----> -8 7 12 x

4. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это интервалы $[-8; 7]$ и $[12; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-8; 7] \cup [12; +\infty)$.

3) $(1-3x)(x+2)(3-x) < 0$

1. Преобразуем неравенство, чтобы коэффициенты при $x$ были положительными. Для этого вынесем "-1" из скобок $(1-3x)$ и $(3-x)$:
$-(3x-1)(x+2)(-(x-3)) < 0$
$(-1)(-1)(3x-1)(x+2)(x-3) < 0$
$(3x-1)(x+2)(x-3) < 0$

2. Найдём корни выражения:
$(3x-1)(x+2)(x-3) = 0$
Корни: $x_1 = 1/3$, $x_2 = -2$, $x_3 = 3$.

3. Отметим корни на числовой прямой: -2, 1/3, 3. Точки выколотые.

4. Определим знаки. Возьмём пробную точку из $(3; +\infty)$, например, $x=4$:
$(3 \cdot 4 - 1)(4+2)(4-3) = 11 \cdot 6 \cdot 1 > 0$. Знак "+".
Знаки чередуются:

 - + - +----o---------o---------o----> -2 1/3 3 x

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это интервалы $(-\infty; -2)$ и $(1/3; 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1/3; 3)$.

4) $x(5-x)(6-x) \le 0$

1. Преобразуем неравенство, вынеся "-1" из скобок $(5-x)$ и $(6-x)$:
$x(-(x-5))(-(x-6)) \le 0$
$x(x-5)(x-6) \le 0$

2. Найдём корни выражения:
$x(x-5)(x-6) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$, $x_3 = 6$.

3. Отметим корни на числовой прямой: 0, 5, 6. Так как неравенство нестрогое, точки закрашенные.

4. Определим знаки. Возьмём пробную точку из $(6; +\infty)$, например, $x=7$:
$7(7-5)(7-6) = 7 \cdot 2 \cdot 1 > 0$. Знак "+".
Знаки чередуются:

 - + - +----•---------•---------•----> 0 5 6 x

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак "-"). Это интервалы $(-\infty; 0]$ и $[5; 6]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [5; 6]$.