Вопросы?, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Всегда ли нули функции разбивают её область определения на промежутки знакопостоянства?

2. Каким свойством обладает функция, непрерывная на промежутке и не имеющая на нём нулей?

3. Опишите, как решать неравенства методом интервалов.

1.

Нет, не всегда. Нули функции разбивают её область определения на промежутки знакопостоянства только в том случае, если функция непрерывна на всей своей области определения. Если же функция имеет точки разрыва, то она может менять знак и в этих точках, не обращаясь в ноль.

Например, рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{x}$. Её область определения — это все действительные числа, кроме нуля: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта функция не имеет нулей. Однако в точке $x=0$ она имеет разрыв. При $x < 0$ значения функции отрицательны ($f(x) < 0$), а при $x > 0$ — положительны ($f(x) > 0$). Таким образом, знак функции меняется в точке разрыва, а не в нуле функции.

Следовательно, промежутки знакопостоянства функции определяются как её нулями, так и точками разрыва (точками, в которых функция не определена).

Ответ: Нет, не всегда. Кроме нулей функции, её область определения на промежутки знакопостоянства могут разбивать и точки разрыва.

2.

Если функция непрерывна на некотором промежутке и не имеет на нём нулей, то она сохраняет на этом промежутке постоянный знак. То есть она является либо строго положительной (принимает только положительные значения), либо строго отрицательной (принимает только отрицательные значения) на всём промежутке.

Это свойство является следствием теоремы о промежуточном значении (теоремы Больцано-Коши). Если бы функция на этом промежутке принимала значения разных знаков (например, в точке $x_1$ значение было бы положительным, а в точке $x_2$ — отрицательным), то из-за своей непрерывности она должна была бы пересечь ось абсцисс, то есть обратиться в ноль в какой-то точке между $x_1$ и $x_2$. Но это противоречит условию, что у функции нет нулей на данном промежутке.

Ответ: Такая функция сохраняет постоянный знак на всём промежутке (является знакопостоянной).

3.

Метод интервалов — это алгоритм для решения сложных неравенств, как правило, вида $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$. Алгоритм состоит из следующих шагов:

1) Привести неравенство к стандартному виду, перенеся все его члены в одну часть, чтобы с другой стороны остался ноль. Например, $f(x) > 0$.

2) Найти область определения функции $f(x)$. Это все значения $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл.

3) Найти "критические" точки — это нули функции и точки её разрыва. Для этого нужно решить уравнение $f(x) = 0$ (чтобы найти нули) и найти точки, в которых функция не определена (например, нули знаменателя для рациональной функции).

4) Нанести найденные критические точки на числовую ось. Эти точки разобьют ось (а точнее, область определения функции) на несколько интервалов.

5) Определить знак функции $f(x)$ в каждом из полученных интервалов. Для этого достаточно взять любую "пробную" точку из каждого интервала, подставить её в функцию $f(x)$ и определить знак результата (+ или –). В силу свойства, описанного в пункте 2, знак будет одинаковым для всех точек внутри одного интервала.

6) Выбрать те интервалы, знаки в которых соответствуют знаку исходного неравенства. Например, для неравенства $f(x) > 0$ нужно выбрать интервалы со знаком "+".

7) Записать ответ. При этом нужно обратить внимание на тип неравенства. Если неравенство строгое ($>$ или $<$), то граничные точки (нули функции) не включаются в решение. Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), то нули функции включаются в решение (если они входят в область определения). Точки, в которых функция не определена (точки разрыва), никогда не включаются в решение.

Ответ: Метод интервалов заключается в том, чтобы найти нули и точки разрыва функции, стоящей в левой части неравенства, отметить эти точки на числовой оси, определить знаки функции на получившихся интервалах и выбрать те из них, которые удовлетворяют знаку неравенства.