Номер 7.18, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.18. Функция $f$ имеет обратную функцию $g$. Известно, что неравенство $\frac{1}{2}x - 1 < f(x) < \frac{1}{2}x + 1$ выполняется для всех $x \in \mathbf{R}$, а уравнение $g(x) = 10 - 2x^2$ имеет один положительный корень. Найдите этот корень приближённо с абсолютной погрешностью¹, равной 0,25.

Поскольку функция $g$ является обратной к функции $f$, то из соотношения $y = f(x)$ следует $x = g(y)$.

Исходное неравенство $\frac{1}{2}x - 1 < f(x) < \frac{1}{2}x + 1$ выполняется для всех $x \in R$. Подставим в это неравенство $f(x) = y$ и $x = g(y)$. Поскольку область определения $f$ есть $R$, то область значений $g$ также есть $R$. Область значений $f$ (и, соответственно, область определения $g$) также есть $R$, так как график $f(x)$ заключен между двумя параллельными прямыми, уходящими в бесконечность в обе стороны.

Получаем неравенство для функции $g$:

$\frac{1}{2}g(y) - 1 < y < \frac{1}{2}g(y) + 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств, из которых можно выразить $g(y)$:

Из левой части: $\frac{1}{2}g(y) - 1 < y \implies \frac{1}{2}g(y) < y + 1 \implies g(y) < 2y + 2$.

Из правой части: $y < \frac{1}{2}g(y) + 1 \implies y - 1 < \frac{1}{2}g(y) \implies 2y - 2 < g(y)$.

Объединяя результаты, получаем неравенство, которому удовлетворяет функция $g$ для любого аргумента (переобозначим его снова как $x$):

$2x - 2 < g(x) < 2x + 2$

По условию, уравнение $g(x) = 10 - 2x^2$ имеет один положительный корень. Обозначим этот корень $x_0$. Для этого корня выполняется равенство $g(x_0) = 10 - 2x_0^2$. Подставим это выражение в полученное нами неравенство для $g(x)$:

$2x_0 - 2 < 10 - 2x_0^2 < 2x_0 + 2$

Теперь решим эту систему неравенств относительно $x_0$.

Первое неравенство:

$2x_0 - 2 < 10 - 2x_0^2$

$2x_0^2 + 2x_0 - 12 < 0$

$x_0^2 + x_0 - 6 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $-3 < x_0 < 2$.

Второе неравенство:

$10 - 2x_0^2 < 2x_0 + 2$

$0 < 2x_0^2 + 2x_0 - 8$

$x_0^2 + x_0 - 4 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 4 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 4$ направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x_0 < \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$ или $x_0 > \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$.

Мы ищем положительный корень, то есть $x_0 > 0$. Объединим все условия:

1) $-3 < x_0 < 2$

2) $x_0 < \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$ или $x_0 > \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$

3) $x_0 > 0$

Из (1) и (3) следует, что $0 < x_0 < 2$.

Учитывая (2) и то, что $\frac{-1 - \sqrt{17}}{2} < 0$, получаем, что корень $x_0$ должен удовлетворять условию $x_0 > \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$.

Таким образом, для корня $x_0$ выполняется двойное неравенство:

$\frac{\sqrt{17} - 1}{2} < x_0 < 2$

Нам нужно найти приближенное значение $x_0$ с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,25. Это означает, что мы должны найти такое число $x_a$, что $|x_a - x_0| \le 0,25$. Для этого достаточно найти отрезок $[a, b]$ длиной $b-a \le 2 \cdot 0,25 = 0,5$, который содержит корень $x_0$. Тогда середина этого отрезка $x_a = \frac{a+b}{2}$ будет искомым приближением.

Оценим границы найденного интервала для $x_0$. Мы знаем, что $16 < 17$, поэтому $\sqrt{16} < \sqrt{17}$, то есть $4 < \sqrt{17}$.

Тогда нижняя граница интервала: $\frac{\sqrt{17} - 1}{2} > \frac{4 - 1}{2} = 1,5$.

Следовательно, корень $x_0$ лежит в интервале $(1,5; 2)$.

Рассмотрим отрезок $[1,5; 2]$. Он содержит корень $x_0$, так как $(\frac{\sqrt{17}-1}{2}, 2) \subset (1,5; 2) \subset [1,5; 2]$.

Длина этого отрезка равна $2 - 1,5 = 0,5$.

В качестве приближенного значения корня можно взять середину этого отрезка:

$x_a = \frac{1,5 + 2}{2} = \frac{3,5}{2} = 1,75$.

Для любого $x_0$ из отрезка $[1,5; 2]$ абсолютная погрешность приближения $x_a=1,75$ не превышает половины длины отрезка, то есть $|x_0 - 1,75| \le \frac{0,5}{2} = 0,25$. Это удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 1,75.