Номер 7.16, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.16. Решите уравнение $\sqrt{1 + \sqrt{x}} = x - 1.$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ) уравнения $ \sqrt{1+\sqrt{x}} = x - 1 $. Для этого должны выполняться следующие условия:

1. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Результат извлечения квадратного корня в левой части уравнения всегда неотрицателен, поэтому правая часть также должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge 1$.

Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \ge 1$), получаем итоговую ОДЗ: $x \ge 1$.

Теперь приступим к решению уравнения. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:

$$ (\sqrt{1+\sqrt{x}})^2 = (x - 1)^2 $$

$$ 1+\sqrt{x} = x^2 - 2x + 1 $$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$$ \sqrt{x} = x^2 - 2x $$

Для упрощения дальнейших выкладок введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x}$. Исходя из ОДЗ ($x \ge 1$), для новой переменной получаем условие $y = \sqrt{x} \ge \sqrt{1} = 1$. Также, $x=y^2$. Подставим замену в уравнение:

$$ y = (y^2)^2 - 2(y^2) $$

$$ y = y^4 - 2y^2 $$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$$ y^4 - 2y^2 - y = 0 $$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$$ y(y^3 - 2y - 1) = 0 $$

Это уравнение распадается на два: $y = 0$ или $y^3 - 2y - 1 = 0$.

Корень $y = 0$ не удовлетворяет нашему условию $y \ge 1$, следовательно, он является посторонним.

Рассмотрим кубическое уравнение $y^3 - 2y - 1 = 0$. Попробуем найти его рациональные корни, которые могут быть только делителями свободного члена, то есть $\pm 1$. Проверка показывает, что $y=-1$ является корнем: $(-1)^3 - 2(-1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$. Разделив многочлен $y^3 - 2y - 1$ на двучлен $(y+1)$, получим $y^2 - y - 1$. Таким образом, уравнение можно представить в виде:

$$ (y+1)(y^2 - y - 1) = 0 $$

Корень $y = -1$ также не удовлетворяет условию $y \ge 1$. Остается решить квадратное уравнение $y^2 - y - 1 = 0$.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $$

Мы получили два возможных значения для $y$: $y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

Проверим эти значения на соответствие условию $y \ge 1$:

• $y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 + 2.236}{2} \approx 1.618$. Так как $1.618 \ge 1$, этот корень подходит.
• $y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 - 2.236}{2} \approx -0.618$. Этот корень не удовлетворяет условию $y \ge 1$.

Единственным подходящим решением для $y$ является $y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$$ \sqrt{x} = y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$

Возведем обе части в квадрат:

$$ x = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{1^2 + 2\cdot1\cdot\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $$

На последнем шаге выполним проверку. Найденное значение $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.618$ удовлетворяет ОДЗ $x \ge 1$. Подставим его в исходное уравнение $\sqrt{1+\sqrt{x}} = x - 1$.

Левая часть: $\sqrt{1+\sqrt{x}} = \sqrt{1 + \frac{1+\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{2+1+\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$.

Правая часть: $x - 1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{3+\sqrt{5}-2}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Равенство $\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ является верным, так как $(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1+2\sqrt{5}+5}{4} = \frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, левая и правая части уравнения равны, и найденный корень является верным.

Ответ: $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.