Номер 7.10, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.10. Докажите, что функция, обратная к нечётной функции, также является нечётной.

Пусть функция $y = f(x)$ является нечётной. По определению, это означает, что её область определения, $D(f)$, симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$), и для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Пусть $g(x)$ — функция, обратная к $f(x)$. Нам нужно доказать, что $g(x)$ также является нечётной. Для этого необходимо проверить, что область определения $g(x)$ симметрична относительно нуля, и что для любого $y$ из этой области выполняется равенство $g(-y) = -g(y)$.

Сначала докажем симметричность области определения $g(x)$. Область определения обратной функции, $D(g)$, совпадает с областью значений исходной функции, $E(f)$. Пусть $y_0$ — произвольный элемент из $E(f)$. Это значит, что существует такое $x_0 \in D(f)$, что $f(x_0) = y_0$. Поскольку $f(x)$ — нечётная, её область определения $D(f)$ симметрична, а значит $-x_0 \in D(f)$. Для этого значения аргумента имеем: $f(-x_0) = -f(x_0) = -y_0$. Это показывает, что значение $-y_0$ также принадлежит области значений $f(x)$, то есть $-y_0 \in E(f)$. Таким образом, область $E(f)$, а следовательно и $D(g)$, симметрична относительно нуля.

Теперь докажем, что $g(-y) = -g(y)$. Пусть $y \in D(g)$ и пусть $g(y) = x$. По определению обратной функции, это равносильно тому, что $f(x) = y$.
Рассмотрим значение $-y$. Так как $y = f(x)$, то $-y = -f(x)$.
Используя свойство нечётности функции $f(x)$, получаем: $-f(x) = f(-x)$.
Следовательно, $-y = f(-x)$.
Применив функцию $g$ к обеим частям этого равенства, получим: $g(-y) = g(f(-x))$.
По свойству взаимно обратных функций, $g(f(z)) = z$. Применяя это свойство, получаем: $g(-y) = -x$.
Так как мы изначально положили, что $x = g(y)$, мы можем подставить это в полученное равенство: $g(-y) = -g(y)$.

Поскольку область определения $g(x)$ симметрична относительно нуля и для любого $y$ из этой области выполняется равенство $g(-y) = -g(y)$, функция $g(x)$ является нечётной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.