Номер 7.6, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.6. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 2\sqrt{x} - 1$;

2) $y = x^2, D(y) = (-\infty; 0]$.

1) Дана функция $y = 2\sqrt{x} - 1$.

Для нахождения обратной функции сначала определим область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$ исходной функции.
Область определения $D(y)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений $E(y)$: так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $2\sqrt{x} \ge 0$, и $y = 2\sqrt{x} - 1 \ge -1$. Следовательно, $E(y) = [-1; +\infty)$.

Теперь выразим $x$ через $y$ из уравнения функции:
$y = 2\sqrt{x} - 1$
$y + 1 = 2\sqrt{x}$
$\sqrt{x} = \frac{y + 1}{2}$
Возводим обе части в квадрат. Это преобразование равносильно при условии, что правая часть неотрицательна: $\frac{y+1}{2} \ge 0$, что соответствует $y \ge -1$. Это условие совпадает с найденной областью значений.
$x = \left(\frac{y + 1}{2}\right)^2 = \frac{(y + 1)^2}{4}$

Чтобы получить обратную функцию, меняем местами переменные $x$ и $y$:
$y = \frac{(x + 1)^2}{4}$
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, то есть $x \in [-1; +\infty)$.
Ответ: $y = \frac{(x+1)^2}{4}$ при $x \ge -1$.

2) Дана функция $y = x^2$ с ограниченной областью определения $D(y) = (-\infty; 0]$.

На этом промежутке функция является монотонно убывающей, а значит, имеет обратную функцию.
Найдем область значений $E(y)$ исходной функции. Если $x \in (-\infty; 0]$, то $x^2 \in [0; +\infty)$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

Теперь выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2$:
$x^2 = y$
$x = \pm\sqrt{y}$

Поскольку по условию область определения исходной функции $D(y) = (-\infty; 0]$, то есть $x \le 0$, мы должны выбрать корень со знаком "минус":
$x = -\sqrt{y}$

Меняем местами $x$ и $y$ для получения обратной функции:
$y = -\sqrt{x}$
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $x \in [0; +\infty)$. Это условие также следует из определения арифметического квадратного корня.
Ответ: $y = -\sqrt{x}$.