Номер 6.18, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.18. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|3|x-a| - 2| = 2 - x$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение $|3|x - a| - 2| = 2 - x$.

По определению модуля, выражение в правой части уравнения должно быть неотрицательным:$2 - x \ge 0$, что равносильно $x \le 2$. Это является областью допустимых значений для корней уравнения.

При условии $x \le 2$ уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$3|x - a| - 2 = 2 - x$ или $3|x - a| - 2 = -(2 - x)$

Упростим каждое уравнение:

1) $3|x - a| = 4 - x$

2) $3|x - a| = x$

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Решение уравнения 1)

$3|x - a| = 4 - x$.

Правая часть должна быть неотрицательной: $4 - x \ge 0$, то есть $x \le 4$. Это условие не является более строгим, чем исходное $x \le 2$.

Раскрываем модуль:

а) $3(x - a) = 4 - x$ при $x - a \ge 0$ (т.е. $x \ge a$).
$3x - 3a = 4 - x$
$4x = 3a + 4$
$x_1 = \frac{3a + 4}{4}$.
Этот корень существует, если выполнены условия: $x_1 \ge a$ и $x_1 \le 2$.
$\frac{3a + 4}{4} \ge a \Rightarrow 3a + 4 \ge 4a \Rightarrow a \le 4$.
$\frac{3a + 4}{4} \le 2 \Rightarrow 3a + 4 \le 8 \Rightarrow 3a \le 4 \Rightarrow a \le \frac{4}{3}$.
Оба условия выполняются при $a \le \frac{4}{3}$.

б) $3(-(x - a)) = 4 - x$ при $x - a < 0$ (т.е. $x < a$).
$-3x + 3a = 4 - x$
$2x = 3a - 4$
$x_2 = \frac{3a - 4}{2}$.
Этот корень существует, если выполнены условия: $x_2 < a$ и $x_2 \le 2$.
$\frac{3a - 4}{2} < a \Rightarrow 3a - 4 < 2a \Rightarrow a < 4$.
$\frac{3a - 4}{2} \le 2 \Rightarrow 3a - 4 \le 4 \Rightarrow 3a \le 8 \Rightarrow a \le \frac{8}{3}$.
Оба условия выполняются при $a \le \frac{8}{3}$.

Решение уравнения 2)

$3|x - a| = x$.

Правая часть должна быть неотрицательной: $x \ge 0$. С учетом исходного ограничения получаем $0 \le x \le 2$.

Раскрываем модуль:

а) $3(x - a) = x$ при $x - a \ge 0$ (т.е. $x \ge a$).
$3x - 3a = x$
$2x = 3a$
$x_3 = \frac{3a}{2}$.
Этот корень существует, если выполнены условия: $x_3 \ge a$ и $0 \le x_3 \le 2$.
$\frac{3a}{2} \ge a \Rightarrow 3a \ge 2a \Rightarrow a \ge 0$.
$0 \le \frac{3a}{2} \le 2 \Rightarrow 0 \le 3a \le 4 \Rightarrow 0 \le a \le \frac{4}{3}$.
Оба условия выполняются при $0 \le a \le \frac{4}{3}$.

б) $3(-(x - a)) = x$ при $x - a < 0$ (т.е. $x < a$).
$-3x + 3a = x$
$4x = 3a$
$x_4 = \frac{3a}{4}$.
Этот корень существует, если выполнены условия: $x_4 < a$ и $0 \le x_4 \le 2$.
$\frac{3a}{4} < a \Rightarrow 3a < 4a \Rightarrow a > 0$.
$0 \le \frac{3a}{4} \le 2 \Rightarrow 0 \le 3a \le 8 \Rightarrow 0 \le a \le \frac{8}{3}$.
Оба условия выполняются при $0 < a \le \frac{8}{3}$.

Анализ количества корней

Соберем все условия существования корней:

• $x_1$ существует при $a \le \frac{4}{3}$.
• $x_2$ существует при $a \le \frac{8}{3}$.
• $x_3$ существует при $0 \le a \le \frac{4}{3}$.
• $x_4$ существует при $0 < a \le \frac{8}{3}$.

Теперь проанализируем количество различных корней в зависимости от параметра $a$.

- При $a > \frac{8}{3}$ ни один из корней не существует. Решений нет.

- При $a = \frac{8}{3}$:
$x_1$ не существует.
$x_2 = \frac{3(\frac{8}{3}) - 4}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2$.
$x_3$ не существует.
$x_4 = \frac{3(\frac{8}{3})}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Корни $x_2$ и $x_4$ существуют и совпадают. Таким образом, при $a = \frac{8}{3}$ уравнение имеет единственный корень $x=2$.

- При $\frac{4}{3} < a < \frac{8}{3}$:
$x_1$ не существует.
$x_2 = \frac{3a-4}{2}$ существует.
$x_3$ не существует.
$x_4 = \frac{3a}{4}$ существует.
Проверим, могут ли эти корни совпадать: $\frac{3a-4}{2} = \frac{3a}{4} \Rightarrow 6a - 8 = 3a \Rightarrow 3a = 8 \Rightarrow a = \frac{8}{3}$. В данном интервале совпадений нет. Значит, имеется два различных корня.

- При $a = \frac{4}{3}$:
$x_1 = \frac{3(\frac{4}{3}) + 4}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{3(\frac{4}{3}) - 4}{2} = 0$.
$x_3 = \frac{3(\frac{4}{3})}{2} = 2$.
$x_4 = \frac{3(\frac{4}{3})}{4} = 1$.
Имеем три различных корня: $0, 1, 2$.

- При $0 < a < \frac{4}{3}$: все четыре корня $x_1, x_2, x_3, x_4$ существуют. В этом интервале они все различны. Четыре корня.

- При $a = 0$:
$x_1 = 1$.
$x_2 = -2$.
$x_3 = 0$.
$x_4$ не существует (т.к. $a > 0$).
Имеем три различных корня: $-2, 0, 1$.

- При $a < 0$:
$x_1$ существует.
$x_2$ существует.
$x_3$ не существует.
$x_4$ не существует.
Корни $x_1$ и $x_2$ различны, т.к. их совпадение возможно только при $a=4$, что не входит в данный случай. Имеем два корня.

Единственный корень получается только при $a = \frac{8}{3}$.

Ответ: $a = \frac{8}{3}$.