Страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.17. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|2|x + a| - 1| = x - 1$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение: $|2|x+a|-1| = x-1$.

Для того чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной, так как в левой части стоит модуль. Таким образом, получаем ограничение на $x$:

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

При выполнении этого условия ($x \ge 1$) можно раскрыть внешний модуль. Уравнение распадается на два случая:

$2|x+a|-1 = x-1$ или $2|x+a|-1 = -(x-1)$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $2|x+a|-1 = x-1$

Преобразуем уравнение:

$2|x+a| = x$

Так как $x \ge 1$, правая часть $x$ положительна. Раскрываем модуль $|x+a|$:

1a) Если $x+a \ge 0$, то уравнение принимает вид $2(x+a) = x$.

$2x + 2a = x \implies x = -2a$.

Этот корень существует, если выполнены все условия:

• $x \ge 1 \implies -2a \ge 1 \implies a \le -1/2$.
• $x+a \ge 0 \implies -2a+a \ge 0 \implies -a \ge 0 \implies a \le 0$.

Объединяя условия, получаем, что корень $x_1 = -2a$ существует при $a \le -1/2$.

1б) Если $x+a < 0$, то уравнение принимает вид $2(-(x+a)) = x$.

$-2x - 2a = x \implies 3x = -2a \implies x = -2a/3$.

Этот корень существует, если выполнены все условия:

• $x \ge 1 \implies -2a/3 \ge 1 \implies -2a \ge 3 \implies a \le -3/2$.
• $x+a < 0 \implies -2a/3 + a < 0 \implies a/3 < 0 \implies a < 0$.

Объединяя условия, получаем, что корень $x_2 = -2a/3$ существует при $a \le -3/2$.

Случай 2: $2|x+a|-1 = -(x-1)$

Преобразуем уравнение:

$2|x+a|-1 = 1-x$

$2|x+a| = 2-x$

Для существования решений в этом случае необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $2-x \ge 0 \implies x \le 2$. С учетом исходного ограничения $x \ge 1$, решения этого случая должны лежать в отрезке $[1, 2]$.

Раскрываем модуль $|x+a|$:

2а) Если $x+a \ge 0$, то уравнение принимает вид $2(x+a) = 2-x$.

$2x+2a=2-x \implies 3x=2-2a \implies x = (2-2a)/3$.

Этот корень существует, если выполнены все условия:

• $1 \le x \le 2 \implies 1 \le (2-2a)/3 \le 2 \implies 3 \le 2-2a \le 6 \implies 1 \le -2a \le 4 \implies -2 \le a \le -1/2$.
• $x+a \ge 0 \implies (2-2a)/3 + a \ge 0 \implies 2-2a+3a \ge 0 \implies 2+a \ge 0 \implies a \ge -2$.

Объединяя условия, получаем, что корень $x_3 = (2-2a)/3$ существует при $-2 \le a \le -1/2$.

2б) Если $x+a < 0$, то уравнение принимает вид $2(-(x+a)) = 2-x$.

$-2x-2a=2-x \implies x = -2a-2$.

Этот корень существует, если выполнены все условия:

• $1 \le x \le 2 \implies 1 \le -2a-2 \le 2 \implies 3 \le -2a \le 4 \implies -2 \le a \le -3/2$.
• $x+a < 0 \implies (-2a-2) + a < 0 \implies -a-2 < 0 \implies a > -2$.

Объединяя условия, получаем, что корень $x_4 = -2a-2$ существует при $-2 < a \le -3/2$.

Анализ количества корней

Сведем все найденные корни и условия их существования:

• $x_1 = -2a$ при $a \le -1/2$
• $x_2 = -2a/3$ при $a \le -3/2$
• $x_3 = (2-2a)/3$ при $-2 \le a \le -1/2$
• $x_4 = -2a-2$ при $-2 < a \le -3/2$

Теперь исследуем количество различных корней в зависимости от значения параметра $a$, рассматривая интервалы, определяемые точками $a=-2, a=-3/2, a=-1/2$.

• При $a < -2$: существуют корни $x_1$ и $x_2$. Они различны, так как $x_1=x_2$ только при $a=0$. Итого 2 корня.
• При $a = -2$: существуют корни $x_1=4$, $x_2=4/3$, $x_3=2$. Итого 3 корня.
• При $-2 < a < -3/2$: существуют все четыре корня $x_1, x_2, x_3, x_4$. Можно проверить, что на этом интервале все они различны. Итого 4 корня.
• При $a = -3/2$: существуют корни $x_1=3$, $x_2=1$, $x_3=5/3$, $x_4=1$. Здесь $x_2=x_4$. Итого 3 различных корня.
• При $-3/2 < a < -1/2$: существуют корни $x_1$ и $x_3$. Они различны, так как $x_1=x_3$ только при $a=-1/2$. Итого 2 корня.
• При $a = -1/2$: существуют корни $x_1 = -2(-1/2) = 1$ и $x_3 = (2-2(-1/2))/3 = (2+1)/3 = 1$. Оба корня совпадают и равны 1. Итого 1 корень.
• При $a > -1/2$: ни одно из условий существования корней не выполняется. Корней нет.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень только при $a = -1/2$.

Ответ: $a = -1/2$.

6.18. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|3|x-a| - 2| = 2 - x$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение $|3|x - a| - 2| = 2 - x$.

По определению модуля, выражение в правой части уравнения должно быть неотрицательным:$2 - x \ge 0$, что равносильно $x \le 2$. Это является областью допустимых значений для корней уравнения.

При условии $x \le 2$ уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$3|x - a| - 2 = 2 - x$ или $3|x - a| - 2 = -(2 - x)$

Упростим каждое уравнение:

1) $3|x - a| = 4 - x$

2) $3|x - a| = x$

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Решение уравнения 1)

$3|x - a| = 4 - x$.

Правая часть должна быть неотрицательной: $4 - x \ge 0$, то есть $x \le 4$. Это условие не является более строгим, чем исходное $x \le 2$.

Раскрываем модуль:

а) $3(x - a) = 4 - x$ при $x - a \ge 0$ (т.е. $x \ge a$).
$3x - 3a = 4 - x$
$4x = 3a + 4$
$x_1 = \frac{3a + 4}{4}$.
Этот корень существует, если выполнены условия: $x_1 \ge a$ и $x_1 \le 2$.
$\frac{3a + 4}{4} \ge a \Rightarrow 3a + 4 \ge 4a \Rightarrow a \le 4$.
$\frac{3a + 4}{4} \le 2 \Rightarrow 3a + 4 \le 8 \Rightarrow 3a \le 4 \Rightarrow a \le \frac{4}{3}$.
Оба условия выполняются при $a \le \frac{4}{3}$.

б) $3(-(x - a)) = 4 - x$ при $x - a < 0$ (т.е. $x < a$).
$-3x + 3a = 4 - x$
$2x = 3a - 4$
$x_2 = \frac{3a - 4}{2}$.
Этот корень существует, если выполнены условия: $x_2 < a$ и $x_2 \le 2$.
$\frac{3a - 4}{2} < a \Rightarrow 3a - 4 < 2a \Rightarrow a < 4$.
$\frac{3a - 4}{2} \le 2 \Rightarrow 3a - 4 \le 4 \Rightarrow 3a \le 8 \Rightarrow a \le \frac{8}{3}$.
Оба условия выполняются при $a \le \frac{8}{3}$.

Решение уравнения 2)

$3|x - a| = x$.

Правая часть должна быть неотрицательной: $x \ge 0$. С учетом исходного ограничения получаем $0 \le x \le 2$.

Раскрываем модуль:

а) $3(x - a) = x$ при $x - a \ge 0$ (т.е. $x \ge a$).
$3x - 3a = x$
$2x = 3a$
$x_3 = \frac{3a}{2}$.
Этот корень существует, если выполнены условия: $x_3 \ge a$ и $0 \le x_3 \le 2$.
$\frac{3a}{2} \ge a \Rightarrow 3a \ge 2a \Rightarrow a \ge 0$.
$0 \le \frac{3a}{2} \le 2 \Rightarrow 0 \le 3a \le 4 \Rightarrow 0 \le a \le \frac{4}{3}$.
Оба условия выполняются при $0 \le a \le \frac{4}{3}$.

б) $3(-(x - a)) = x$ при $x - a < 0$ (т.е. $x < a$).
$-3x + 3a = x$
$4x = 3a$
$x_4 = \frac{3a}{4}$.
Этот корень существует, если выполнены условия: $x_4 < a$ и $0 \le x_4 \le 2$.
$\frac{3a}{4} < a \Rightarrow 3a < 4a \Rightarrow a > 0$.
$0 \le \frac{3a}{4} \le 2 \Rightarrow 0 \le 3a \le 8 \Rightarrow 0 \le a \le \frac{8}{3}$.
Оба условия выполняются при $0 < a \le \frac{8}{3}$.

Анализ количества корней

Соберем все условия существования корней:

• $x_1$ существует при $a \le \frac{4}{3}$.
• $x_2$ существует при $a \le \frac{8}{3}$.
• $x_3$ существует при $0 \le a \le \frac{4}{3}$.
• $x_4$ существует при $0 < a \le \frac{8}{3}$.

Теперь проанализируем количество различных корней в зависимости от параметра $a$.

- При $a > \frac{8}{3}$ ни один из корней не существует. Решений нет.

- При $a = \frac{8}{3}$:
$x_1$ не существует.
$x_2 = \frac{3(\frac{8}{3}) - 4}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2$.
$x_3$ не существует.
$x_4 = \frac{3(\frac{8}{3})}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Корни $x_2$ и $x_4$ существуют и совпадают. Таким образом, при $a = \frac{8}{3}$ уравнение имеет единственный корень $x=2$.

- При $\frac{4}{3} < a < \frac{8}{3}$:
$x_1$ не существует.
$x_2 = \frac{3a-4}{2}$ существует.
$x_3$ не существует.
$x_4 = \frac{3a}{4}$ существует.
Проверим, могут ли эти корни совпадать: $\frac{3a-4}{2} = \frac{3a}{4} \Rightarrow 6a - 8 = 3a \Rightarrow 3a = 8 \Rightarrow a = \frac{8}{3}$. В данном интервале совпадений нет. Значит, имеется два различных корня.

- При $a = \frac{4}{3}$:
$x_1 = \frac{3(\frac{4}{3}) + 4}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{3(\frac{4}{3}) - 4}{2} = 0$.
$x_3 = \frac{3(\frac{4}{3})}{2} = 2$.
$x_4 = \frac{3(\frac{4}{3})}{4} = 1$.
Имеем три различных корня: $0, 1, 2$.

- При $0 < a < \frac{4}{3}$: все четыре корня $x_1, x_2, x_3, x_4$ существуют. В этом интервале они все различны. Четыре корня.

- При $a = 0$:
$x_1 = 1$.
$x_2 = -2$.
$x_3 = 0$.
$x_4$ не существует (т.к. $a > 0$).
Имеем три различных корня: $-2, 0, 1$.

- При $a < 0$:
$x_1$ существует.
$x_2$ существует.
$x_3$ не существует.
$x_4$ не существует.
Корни $x_1$ и $x_2$ различны, т.к. их совпадение возможно только при $a=4$, что не входит в данный случай. Имеем два корня.

Единственный корень получается только при $a = \frac{8}{3}$.

Ответ: $a = \frac{8}{3}$.