Страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.3. Постройте график функции:

1) $y = |x^2 - 1|;$

2) $y = \left|\frac{2}{x - 1}\right|;$

3) $y = \left|\frac{x - 4}{x + 1}\right|.$

1) $y = |x^2 - 1|$

Для построения графика функции вида $y = |f(x)|$ необходимо сначала построить график функции $y = f(x)$, а затем ту часть графика, которая находится ниже оси абсцисс ($Ox$), симметрично отразить относительно этой оси.

1. Построим график функции $y = x^2 - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины параболы находятся в точке $(0, -1)$. График пересекает ось абсцисс ($y=0$) в точках, где $x^2 - 1 = 0$, то есть при $x=1$ и $x=-1$.

2. Теперь применим преобразование модуля. Часть параболы, где $y \ge 0$ (то есть при $x \le -1$ и $x \ge 1$), остается без изменений. Часть параболы, где $y < 0$ (на интервале $-1 < x < 1$), симметрично отражается относительно оси $Ox$. При этом вершина $(0, -1)$ переходит в точку $(0, 1)$.

Ответ: График функции $y = |x^2 - 1|$ состоит из двух частей параболы $y=x^2-1$ на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$, и части параболы $y=-(x^2-1)=1-x^2$ на промежутке $(-1, 1)$.

2) $y = |\frac{2}{x - 1}|$

Построение графика этой функции также осуществляется в два шага: построение графика функции без модуля и последующее симметричное отражение отрицательной части.

1. Построим график функции $y = \frac{2}{x - 1}$. Это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{2}{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$. У графика есть вертикальная асимптота $x = 1$ (так как в этой точке знаменатель обращается в ноль) и горизонтальная асимптота $y = 0$ (ось $Ox$).

При $x > 1$ значения функции положительны (ветвь гиперболы расположена в первой координатной четверти относительно асимптот). При $x < 1$ значения функции отрицательны (ветвь гиперболы расположена в третьей координатной четверти относительно асимптот).

2. Применим преобразование модуля. Ветвь гиперболы при $x > 1$, где $y > 0$, остается на своем месте. Ветвь гиперболы при $x < 1$, где $y < 0$, симметрично отражается относительно оси $Ox$ и теперь также будет расположена выше этой оси.

Ответ: График функции $y = |\frac{2}{x - 1}|$ представляет собой две ветви гиперболы, обе расположенные в верхней полуплоскости ($y > 0$). Асимптоты графика: вертикальная $x=1$ и горизонтальная $y=0$.

3) $y = |\frac{x - 4}{x + 1}|$

Действуем по аналогичному алгоритму.

1. Построим график функции $y = f(x) = \frac{x - 4}{x + 1}$. Для удобства преобразуем выражение, выделив целую часть: $y = \frac{x + 1 - 5}{x + 1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{5}{x+1} = 1 - \frac{5}{x+1}$.

Это гипербола, полученная из графика $y = -\frac{5}{x}$ путем сдвига на 1 единицу влево по оси $Ox$ и на 1 единицу вверх по оси $Oy$. Вертикальная асимптота: $x = -1$. Горизонтальная асимптота: $y = 1$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $y=0$, имеем $\frac{x-4}{x+1} = 0$, откуда $x=4$. Точка пересечения с осью $Ox$: $(4, 0)$.
• При $x=0$, имеем $y = \frac{0-4}{0+1} = -4$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, -4)$.

Определим знаки функции: $f(x) < 0$ на интервале $(-1, 4)$ и $f(x) \ge 0$ на интервалах $(-\infty, -1)$ и $[4, \infty)$.

2. Применим преобразование модуля. Части графика, где $y \ge 0$ (при $x < -1$ и $x \ge 4$), остаются без изменений. Часть графика, где $y < 0$ (на интервале $-1 < x < 4$), симметрично отражается относительно оси $Ox$. Точка $(0, -4)$ переходит в точку $(0, 4)$.

Ответ: График функции $y = |\frac{x - 4}{x + 1}|$ является преобразованной гиперболой с асимптотами $x=-1$ и $y=1$. Весь график расположен не ниже оси абсцисс ($y \ge 0$). Он касается оси $Ox$ в точке $(4,0)$. Часть исходной гиперболы, находившаяся на интервале $(-1, 4)$ под осью $Ox$, отражена вверх.

6.4. Постройте график функции:

1) $y = |\sqrt{x-1}|$;

2) $y = \left|\frac{4}{x-2}\right|$;

3) $y = \left|\frac{x+2}{x-3}\right|$.

1)

Чтобы построить график функции $y = |\sqrt{x} - 1|$, воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Сначала построим график базовой функции $y_1 = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная оси $Ox$, расположенная в первой координатной четверти. Область определения: $x \ge 0$. График начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$.

2. Далее построим график функции $y_2 = \sqrt{x} - 1$. Этот график получается из графика $y_1$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Теперь график начинается в точке $(0, -1)$ и пересекает ось $Ox$ в точке $(1, 0)$, так как $\sqrt{x} - 1 = 0$ при $x=1$.

3. Наконец, построим график искомой функции $y = |\sqrt{x} - 1|$. По определению модуля, $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Это означает, что часть графика $y_2$, которая находится выше или на оси $Ox$, остается без изменений, а часть, которая находится ниже оси $Ox$, симметрично отражается относительно оси $Ox$.

   • При $x \ge 1$, имеем $\sqrt{x} - 1 \ge 0$, поэтому $y = \sqrt{x} - 1$. Эта часть графика совпадает с графиком $y_2$.

   • При $0 \le x < 1$, имеем $\sqrt{x} - 1 < 0$, поэтому $y = -(\sqrt{x} - 1) = 1 - \sqrt{x}$. Эта часть графика является отражением соответствующей части графика $y_2$ относительно оси $Ox$. Например, точка $(0, -1)$ на графике $y_2$ переходит в точку $(0, 1)$ на графике $y$.

Итоговый график начинается в точке $(0, 1)$, убывает до точки $(1, 0)$, касаясь оси $Ox$, а затем возрастает, проходя через точку $(4, 1)$.

Ответ: График функции $y = |\sqrt{x} - 1|$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ сдвигом на 1 единицу вниз, после чего часть графика, оказавшаяся ниже оси абсцисс (на интервале $x \in [0, 1)$), отражается симметрично относительно этой оси.

2)

Для построения графика функции $y = |\frac{4}{x-2}|$ используем преобразования.

1. Строим график базовой функции $y_1 = \frac{4}{x}$. Это гипербола с асимптотами $x=0$ (ось $Oy$) и $y=0$ (ось $Ox$). Ветви расположены в первой и третьей координатных четвертях.

2. Строим график функции $y_2 = \frac{4}{x-2}$. Этот график получается из графика $y_1$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$. Вертикальная асимптота смещается и становится $x=2$. Горизонтальная асимптота остается $y=0$. Область определения: $x \ne 2$.

3. Теперь строим график $y = |y_2| = |\frac{4}{x-2}|$. Часть графика $y_2$, расположенная над осью $Ox$, остается без изменений, а часть под осью $Ox$ симметрично отражается относительно оси $Ox$.

   • При $x > 2$, выражение $x-2 > 0$, значит $\frac{4}{x-2} > 0$. В этом случае $y = \frac{4}{x-2}$, и эта ветвь гиперболы остается на месте.

   • При $x < 2$, выражение $x-2 < 0$, значит $\frac{4}{x-2} < 0$. В этом случае $y = -(\frac{4}{x-2}) = \frac{4}{2-x}$. Эта ветвь, находившаяся в четвертой четверти относительно своих асимптот, отражается вверх и располагается во второй четверти.

Итоговый график состоит из двух ветвей гиперболы, обе расположены выше оси $Ox$. Асимптоты графика: вертикальная $x=2$ и горизонтальная $y=0$. При $x \to 2$ с обеих сторон, $y \to +\infty$.

Ответ: График функции $y = |\frac{4}{x-2}|$ — это гипербола $y = \frac{4}{x-2}$, у которой ветвь, расположенная ниже оси абсцисс (при $x < 2$), симметрично отражена относительно этой оси.

3)

Чтобы построить график функции $y = |\frac{x+2}{x-3}|$, сначала исследуем функцию внутри модуля.

1. Рассмотрим функцию $y_1 = \frac{x+2}{x-3}$. Это дробно-линейная функция. Для удобства построения выделим целую часть:

   $y_1 = \frac{x-3+5}{x-3} = \frac{x-3}{x-3} + \frac{5}{x-3} = 1 + \frac{5}{x-3}$.

2. График функции $y_1$ — это гипербола, полученная из графика $y_{base} = \frac{5}{x}$ путем сдвига на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Асимптоты этой гиперболы: вертикальная $x=3$ и горизонтальная $y=1$.

3. Найдем точки пересечения графика $y_1$ с осями координат:

   • С осью $Ox$ ($y_1=0$): $\frac{x+2}{x-3} = 0 \implies x+2 = 0 \implies x = -2$. Точка $(-2, 0)$.

   • С осью $Oy$ ($x=0$): $y_1 = \frac{0+2}{0-3} = -\frac{2}{3}$. Точка $(0, -\frac{2}{3})$.

4. Теперь строим график искомой функции $y = |\frac{x+2}{x-3}| = |y_1|$. Часть графика $y_1$, где $y_1 \ge 0$, остается без изменений. Часть графика, где $y_1 < 0$, симметрично отражается относительно оси $Ox$.

   Выясним, где $y_1 < 0$: $\frac{x+2}{x-3} < 0$. Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-2, 3)$.

Таким образом, итоговый график:

• На промежутках $(-\infty, -2]$ и $(3, \infty)$ совпадает с графиком $y_1 = 1 + \frac{5}{x-3}$.

• На промежутке $(-2, 3)$ является отражением графика $y_1$ относительно оси $Ox$. В частности, точка пересечения с осью $Oy$ становится $(0, \frac{2}{3})$, а точка $(-2, 0)$ становится точкой "излома" графика.

Асимптоты итогового графика остаются теми же: $x=3$ и $y=1$.

Ответ: График функции $y = |\frac{x+2}{x-3}|$ получается из графика гиперболы $y = \frac{x+2}{x-3}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс той его части, которая лежит ниже этой оси (на интервале $x \in (-2, 3)$).

6.5. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{2x - 1};$

2) $y = \sqrt{3 - 4x};$

3) $y = \sqrt{\frac{1}{2}x + 2};$

4) $y = 2\sqrt{3x - 1} + 1.$

1) Для построения графика функции $y = \sqrt{2x - 1}$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2x - 1 \ge 0$
$2x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{2}$
Область определения функции $D(y) = [\frac{1}{2}; +\infty)$. Это означает, что график будет расположен правее или на прямой $x = \frac{1}{2}$.
2. Найти начальную точку графика. Это точка с наименьшей возможной абсциссой $x = \frac{1}{2}$:
$y(\frac{1}{2}) = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2} - 1} = \sqrt{1 - 1} = 0$.
Начальная точка графика имеет координаты $(\frac{1}{2}; 0)$.
3. Найти несколько дополнительных точек, чтобы точнее построить график. Удобно выбирать такие значения $x$, при которых подкоренное выражение является полным квадратом.
- При $x = 1$: $y = \sqrt{2(1) - 1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1; 1)$.
- При $x = 2.5$: $y = \sqrt{2(2.5) - 1} = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2.5; 2)$.
- При $x = 5$: $y = \sqrt{2(5) - 1} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(5; 3)$.
4. Построение графика. Отмечаем на координатной плоскости точки $(\frac{1}{2}; 0)$, $(1; 1)$, $(2.5; 2)$, $(5; 3)$ и соединяем их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, идущую вправо и вверх от своей вершины.

Ответ: График функции — это ветвь параболы с вершиной в точке $(\frac{1}{2}; 0)$, направленная вправо и вверх.

2) Для построения графика функции $y = \sqrt{3 - 4x}$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$3 - 4x \ge 0$
$3 \ge 4x$
$x \le \frac{3}{4}$
Область определения функции $D(y) = (-\infty; \frac{3}{4}]$. Это означает, что график будет расположен левее или на прямой $x = \frac{3}{4}$.
2. Найти начальную точку графика. Это точка с наибольшей возможной абсциссой $x = \frac{3}{4}$:
$y(\frac{3}{4}) = \sqrt{3 - 4 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{3 - 3} = 0$.
Начальная точка графика имеет координаты $(\frac{3}{4}; 0)$.
3. Найти несколько дополнительных точек:
- При $x = \frac{1}{2}$: $y = \sqrt{3 - 4(\frac{1}{2})} = \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(\frac{1}{2}; 1)$.
- При $x = -\frac{1}{4}$: $y = \sqrt{3 - 4(-\frac{1}{4})} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-\frac{1}{4}; 2)$.
- При $x = -1.5$: $y = \sqrt{3 - 4(-1.5)} = \sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(-1.5; 3)$.
4. Построение графика. Отмечаем на координатной плоскости точки $(\frac{3}{4}; 0)$, $(\frac{1}{2}; 1)$, $(-\frac{1}{4}; 2)$, $(-1.5; 3)$ и соединяем их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, идущую влево и вверх от своей вершины.

Ответ: График функции — это ветвь параболы с вершиной в точке $(\frac{3}{4}; 0)$, направленная влево и вверх.

3) Для построения графика функции $y = \sqrt{\frac{1}{2}x + 2}$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти область определения функции:
$\frac{1}{2}x + 2 \ge 0$
$\frac{1}{2}x \ge -2$
$x \ge -4$
Область определения функции $D(y) = [-4; +\infty)$. График расположен правее или на прямой $x = -4$.
2. Найти начальную точку графика при $x = -4$:
$y(-4) = \sqrt{\frac{1}{2}(-4) + 2} = \sqrt{-2 + 2} = 0$.
Начальная точка графика имеет координаты $(-4; 0)$.
3. Найти несколько дополнительных точек:
- При $x = -2$: $y = \sqrt{\frac{1}{2}(-2) + 2} = \sqrt{-1 + 2} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-2; 1)$.
- При $x = 0$: $y = \sqrt{\frac{1}{2}(0) + 2} = \sqrt{2} \approx 1.41$. Точка $(0; \sqrt{2})$.
- При $x = 4$: $y = \sqrt{\frac{1}{2}(4) + 2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(4; 2)$.
4. Построение графика. Отмечаем на координатной плоскости точки $(-4; 0)$, $(-2; 1)$, $(4; 2)$ и соединяем их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, идущую вправо и вверх от своей вершины.

Ответ: График функции — это ветвь параболы с вершиной в точке $(-4; 0)$, направленная вправо и вверх.

4) Для построения графика функции $y = 2\sqrt{3x - 1} + 1$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти область определения функции:
$3x - 1 \ge 0$
$3x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{3}$
Область определения функции $D(y) = [\frac{1}{3}; +\infty)$. График расположен правее или на прямой $x = \frac{1}{3}$.
2. Найти начальную точку графика при $x = \frac{1}{3}$:
$y(\frac{1}{3}) = 2\sqrt{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} + 1 = 2\sqrt{1 - 1} + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1$.
Начальная точка графика имеет координаты $(\frac{1}{3}; 1)$.
3. Найти несколько дополнительных точек:
- При $x = \frac{2}{3}$: $y = 2\sqrt{3(\frac{2}{3}) - 1} + 1 = 2\sqrt{2 - 1} + 1 = 2\sqrt{1} + 1 = 3$. Точка $(\frac{2}{3}; 3)$.
- При $x = \frac{5}{3}$: $y = 2\sqrt{3(\frac{5}{3}) - 1} + 1 = 2\sqrt{5 - 1} + 1 = 2\sqrt{4} + 1 = 5$. Точка $(\frac{5}{3}; 5)$.
- При $x = \frac{10}{3}$: $y = 2\sqrt{3(\frac{10}{3}) - 1} + 1 = 2\sqrt{10 - 1} + 1 = 2\sqrt{9} + 1 = 7$. Точка $(\frac{10}{3}; 7)$.
4. Построение графика. Отмечаем на координатной плоскости точки $(\frac{1}{3}; 1)$, $(\frac{2}{3}; 3)$, $(\frac{5}{3}; 5)$ и соединяем их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, которая растянута по вертикали, выходит из точки $(\frac{1}{3}; 1)$ и идет вправо и вверх.

Ответ: График функции — это ветвь параболы с вершиной в точке $(\frac{1}{3}; 1)$, направленная вправо и вверх.

6.6. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{3x + 1}$;

2) $y = \sqrt{5 - 2x}$;

3) $y = 2(3x - 1)^2 + 1$.

1) Для построения графика функции $y = \sqrt{3x+1}$ выполним следующие шаги:
1. Найдём область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3x+1 \ge 0$, откуда $3x \ge -1$, то есть $x \ge -1/3$. График будет расположен в области $x \ge -1/3$.
2. Найдём начальную точку графика. При $x = -1/3$, $y = \sqrt{3(-1/3)+1} = \sqrt{0} = 0$. Начальная точка — $(-1/3, 0)$.
3. Найдём несколько других точек для более точного построения: - при $x=0$, $y = \sqrt{3(0)+1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(0, 1)$. - при $x=1$, $y = \sqrt{3(1)+1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(1, 2)$.
4. Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(-1/3, 0)$ и направленную вправо и вверх.
Ответ: График функции $y = \sqrt{3x+1}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(-1/3, 0)$ и проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

2) Для построения графика функции $y = \sqrt{5-2x}$ выполним следующие шаги:
1. Найдём область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5-2x \ge 0$, откуда $5 \ge 2x$, то есть $x \le 2.5$. График будет расположен в области $x \le 2.5$.
2. Найдём начальную (крайнюю правую) точку графика. При $x = 2.5$, $y = \sqrt{5-2(2.5)} = \sqrt{0} = 0$. Начальная точка — $(2.5, 0)$.
3. Найдём несколько других точек для построения: - при $x=2$, $y = \sqrt{5-2(2)} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(2, 1)$. - при $x=0.5$, $y = \sqrt{5-2(0.5)} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(0.5, 2)$. - при $x=-2$, $y = \sqrt{5-2(-2)} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(-2, 3)$.
4. Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(2.5, 0)$ и направленную влево и вверх.
Ответ: График функции $y = \sqrt{5-2x}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(2.5, 0)$ и проходит через точки $(2, 1)$ и $(-2, 3)$.

3) Функция $y = 2(3x-1)^2 + 1$ является квадратичной, ее график — парабола. Для ее построения:
1. Найдём координаты вершины параболы. Вершина находится в точке, где выражение в скобках равно нулю: $3x-1=0$, откуда $x=1/3$. Подставим это значение в функцию, чтобы найти ординату вершины: $y = 2(0)^2 + 1 = 1$. Итак, вершина параболы — точка $(1/3, 1)$.
2. Определим направление ветвей. Коэффициент перед скобкой ($a=2$) положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
3. Найдём точку пересечения с осью OY. Подставим $x=0$: $y = 2(3(0)-1)^2+1 = 2(-1)^2+1 = 3$. Точка пересечения — $(0, 3)$.
4. Для точности построения найдем еще одну точку, используя симметрию параболы относительно ее оси $x=1/3$. Точка, симметричная точке $(0, 3)$, будет иметь ординату $y=3$ и абсциссу $x=1/3+(1/3-0)=2/3$. Это точка $(2/3, 3)$.
5. Построим параболу по вершине $(1/3, 1)$ и точкам $(0, 3)$ и $(2/3, 3)$.
Ответ: График функции $y = 2(3x-1)^2 + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(1/3, 1)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола проходит через точки $(0, 3)$ и $(2/3, 3)$.

6.7. Постройте график функции:

1) $y = (|x| - 1)^2;$

2) $y = \sqrt{|x| + 2};$

3) $y = \frac{1}{|x| - 3}.$

1) $y = (|x| - 1)²$

Функция является чётной, так как $y(-x) = (|-x| - 1)² = (|x| - 1)² = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Построим график для $x \ge 0$. При этих значениях $|x| = x$, и функция принимает вид $y = (x - 1)²$.

Это стандартная парабола $y = x²$, смещённая на 1 единицу вправо по оси Ox. Её вершина находится в точке $(1, 0)$.

Найдём несколько точек для этой части графика:

• При $x = 0$, $y = (0 - 1)² = 1$. Точка $(0, 1)$.
• При $x = 1$, $y = (1 - 1)² = 0$. Точка $(1, 0)$ — вершина.
• При $x = 2$, $y = (2 - 1)² = 1$. Точка $(2, 1)$.

Теперь, используя свойство симметрии, отразим построенную часть графика относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.

• Точка $(1, 0)$ отразится в точку $(-1, 0)$.
• Точка $(2, 1)$ отразится в точку $(-2, 1)$.
• Точка $(0, 1)$ останется на месте, так как она лежит на оси симметрии.

Для $x < 0$ функция имеет вид $y = (-x - 1)² = (x + 1)²$. Это парабола $y = x²$, смещённая на 1 единицу влево. Итоговый график состоит из двух частей парабол, соединённых в точке $(0, 1)$. Он напоминает букву "W".

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Он состоит из части параболы $y = (x-1)²$ при $x \ge 0$ и части параболы $y = (x+1)²$ при $x < 0$. График имеет две точки минимума $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и точку локального максимума $(0, 1)$.

2) $y = \sqrt{|x| + 2}$

Функция является чётной, так как $y(-x) = \sqrt{|-x| + 2} = \sqrt{|x| + 2} = y(x)$. Её график симметричен относительно оси Oy.

Рассмотрим случай, когда $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x + 2}$.

Это график функции $y = \sqrt{x}$, смещённый на 2 единицы влево по оси Ox. Область определения этой части — $x \ge -2$. Мы строим её для $x \ge 0$.

Найдём несколько точек для этой части графика:

• При $x = 0$, $y = \sqrt{0 + 2} = \sqrt{2} \approx 1.41$. Точка $(0, \sqrt{2})$. Это точка минимума всей функции.
• При $x = 2$, $y = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2, 2)$.
• При $x = 7$, $y = \sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(7, 3)$.

Теперь отразим эту часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.

• Точка $(2, 2)$ отразится в точку $(-2, 2)$.
• Точка $(7, 3)$ отразится в точку $(-7, 3)$.
• Точка $(0, \sqrt{2})$ останется на месте.

Область определения исходной функции — все действительные числа, так как подкоренное выражение $|x| + 2$ всегда положительно ($|x| \ge 0$, значит $|x| + 2 \ge 2$).

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Он состоит из графика функции $y = \sqrt{x+2}$ для $x \ge 0$ и его зеркального отражения относительно оси Oy для $x < 0$. График представляет собой две ветви, выходящие из точки $(0, \sqrt{2})$, которая является точкой минимума.

3) $y = \frac{1}{|x| - 3}$

Функция является чётной, так как $y(-x) = \frac{1}{|-x| - 3} = \frac{1}{|x| - 3} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

Найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю:

$|x| - 3 \ne 0 \Rightarrow |x| \ne 3 \Rightarrow x \ne 3$ и $x \ne -3$.

Таким образом, прямые $x=3$ и $x=-3$ являются вертикальными асимптотами графика.

При $x \to \pm\infty$, $|x| \to \infty$, знаменатель $|x|-3 \to \infty$, следовательно $y \to 0$. Прямая $y=0$ (ось Ox) — горизонтальная асимптота.

Построим график для $x \ge 0$ (и $x \ne 3$). При этих значениях $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{1}{x - 3}$.

Это стандартная гипербола $y = \frac{1}{x}$, смещённая на 3 единицы вправо по оси Ox.

Найдём несколько точек для этой части графика:

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{0 - 3} = -\frac{1}{3}$. Точка $(0, -1/3)$. Это точка локального максимума.
• При $x = 2$, $y = \frac{1}{2 - 3} = -1$. Точка $(2, -1)$.
• При $x \to 3$ слева ($x < 3$), $y \to -\infty$.
• При $x = 4$, $y = \frac{1}{4 - 3} = 1$. Точка $(4, 1)$.
• При $x \to 3$ справа ($x > 3$), $y \to +\infty$.

Теперь отразим построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. Вертикальная асимптота $x=3$ отразится в $x=-3$.

График будет состоять из трёх ветвей:

1. В интервале $(3, +\infty)$ — ветвь гиперболы, приближающаяся к асимптотам $x=3$ и $y=0$.
2. В интервале $(-\infty, -3)$ — симметричная ей ветвь.
3. В интервале $(-3, 3)$ — кривая, проходящая через точку $(0, -1/3)$ и уходящая в $-\infty$ при приближении к асимптотам $x=-3$ и $x=3$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy, имеет вертикальные асимптоты $x = 3$ и $x = -3$, и горизонтальную асимптоту $y = 0$. График состоит из трёх ветвей: в интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, +\infty)$. Точка $(0, -1/3)$ является локальным максимумом.

6.8. Постройте график функции:

1) $y=(|x|+2)^2$; 2) $y=\sqrt{|x|-3}$; 3) $y=\sqrt{2-|x|}$.

1) $y = (|x| + 2)^2$

Для построения графика этой функции проанализируем ее свойства.

1. Функция является четной, так как $y(-x) = (|-x| + 2)^2 = (|x| + 2)^2 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

2. В связи с симметрией, достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его зеркально относительно оси OY.

3. При $x \ge 0$, модуль $|x| = x$, и функция принимает вид $y = (x + 2)^2$. Это стандартная парабола $y = x^2$, сдвинутая на 2 единицы влево. Ее вершина находится в точке $(-2, 0)$.

4. Мы строим только ту часть параболы $y = (x + 2)^2$, которая соответствует условию $x \ge 0$. Найдем ключевые точки для этой части:

• Если $x = 0$, то $y = (0 + 2)^2 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• Если $x = 1$, то $y = (1 + 2)^2 = 9$. Точка $(1, 9)$.

Таким образом, для $x \ge 0$ мы получаем ветвь параболы, которая начинается в точке $(0, 4)$ и идет вверх.

5. Теперь отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси OY. Это даст нам часть графика для $x < 0$. Эта часть будет ветвью параболы $y = (-x + 2)^2$ или $y = (x - 2)^2$.

Итоговый график состоит из двух ветвей парабол, которые соединяются в точке $(0, 4)$.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух частей парабол: правой ветви параболы $y = (x+2)^2$ (для $x \ge 0$) и левой ветви параболы $y = (x-2)^2$ (для $x < 0$). График симметричен относительно оси OY и имеет точку минимума $(0, 4)$, в которой наблюдается излом.

2) $y = \sqrt{|x| - 3}$

1. Начнем с нахождения области определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $|x| - 3 \ge 0$, что эквивалентно $|x| \ge 3$. Решением этого неравенства является объединение двух промежутков: $x \ge 3$ и $x \le -3$. Итак, область определения $D(y) = (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

2. Функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt{|-x| - 3} = \sqrt{|x| - 3} = y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси OY.

3. Построим часть графика для $x \ge 3$. На этом промежутке $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x - 3}$. Это график стандартной функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы вправо вдоль оси OX. Некоторые точки этой ветви:

• Если $x = 3$, то $y = \sqrt{3 - 3} = 0$. Точка $(3, 0)$.
• Если $x = 4$, то $y = \sqrt{4 - 3} = 1$. Точка $(4, 1)$.
• Если $x = 7$, то $y = \sqrt{7 - 3} = 2$. Точка $(7, 2)$.

4. Отразим построенную ветвь симметрично относительно оси OY, чтобы получить часть графика для $x \le -3$. Эта вторая ветвь будет начинаться в точке $(-3, 0)$ и уходить влево и вверх.

Ответ: График состоит из двух симметричных относительно оси OY ветвей. Одна ветвь, являющаяся графиком $y = \sqrt{x-3}$, начинается в точке $(3, 0)$ и уходит вправо-вверх. Вторая ветвь, являющаяся графиком $y = \sqrt{-x-3}$, начинается в точке $(-3, 0)$ и уходит влево-вверх.

3) $y = \sqrt{2 - |x|}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2 - |x| \ge 0$, что эквивалентно $|x| \le 2$. Решением этого неравенства является отрезок $[-2, 2]$. Итак, область определения $D(y) = [-2, 2]$.

2. Функция является четной, поскольку $y(-x) = \sqrt{2 - |-x|} = \sqrt{2 - |x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.

3. Построим график для $x \ge 0$, то есть на отрезке $[0, 2]$. Здесь $|x| = x$, и функция имеет вид $y = \sqrt{2 - x}$. Найдем ключевые точки:

• Если $x = 0$, то $y = \sqrt{2 - 0} = \sqrt{2} \approx 1.41$. Точка $(0, \sqrt{2})$.
• Если $x = 1$, то $y = \sqrt{2 - 1} = 1$. Точка $(1, 1)$.
• Если $x = 2$, то $y = \sqrt{2 - 2} = 0$. Точка $(2, 0)$.

Это кривая, соединяющая точки $(0, \sqrt{2})$ и $(2, 0)$.

4. Отразив эту кривую симметрично относительно оси OY, получим вторую половину графика на отрезке $[-2, 0]$. Она будет соединять точки $(-2, 0)$ и $(0, \sqrt{2})$.

Весь график представляет собой арку.

Ответ: График функции — это кривая линия (арка), симметричная относительно оси OY, существующая только на отрезке $x \in [-2, 2]$. График начинается в точке $(-2, 0)$, поднимается до точки максимума $(0, \sqrt{2})$ и опускается до точки $(2, 0)$.

6.9. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{|x+2|}$;

2) $y = (|x-2|-1)^2$;

3) $y = \sqrt{|x-1|}+2$.

1) $y = \sqrt{|x+2|}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{|x+2|}$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Построим график базовой функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная оси Ox, начинающаяся в точке (0, 0) и проходящая через точки (1, 1), (4, 2).
2. Построим график функции $y = \sqrt{|x|}$. Для этого часть графика $y = \sqrt{x}$ при $x \ge 0$ оставляем без изменений, а затем отражаем ее симметрично относительно оси Oy. Получим график, состоящий из двух ветвей, выходящих из точки (0, 0) и симметричных относительно оси Oy.
3. Искомый график $y = \sqrt{|x+2|}$ получается из графика $y = \sqrt{|x|}$ сдвигом влево вдоль оси Ox на 2 единицы. "Вершина" графика переместится из точки (0, 0) в точку (-2, 0).

Таким образом, график функции состоит из двух ветвей, выходящих из точки $(-2, 0)$. Одна ветвь является частью графика $y=\sqrt{x+2}$ (при $x \ge -2$), другая — частью графика $y=\sqrt{-x-2}$ (при $x < -2$). График симметричен относительно прямой $x=-2$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{|x+2|}$ — это график функции $y = \sqrt{|x|}$ (две симметричные относительно оси Oy ветви, выходящие из начала координат), сдвинутый на 2 единицы влево по оси Ox. Вершина графика находится в точке $(-2, 0)$.

2) $y = (|x-2|-1)^2$

Построение графика этой функции также выполним с помощью последовательных преобразований.

1. Начнем с параболы $y = x^2$.
2. Сдвинем ее на 1 единицу вправо, чтобы получить график функции $y = (x-1)^2$. Вершина этой параболы находится в точке (1, 0).
3. Теперь построим график $y = (|x|-1)^2$. Так как аргумент стоит под знаком модуля, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy. Для $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция совпадает с $y = (x-1)^2$. Поэтому мы берем часть графика $y = (x-1)^2$ при $x \ge 0$ и отражаем ее симметрично относительно оси Oy. Получится график в форме буквы "W" с вершинами в точках (-1, 0) и (1, 0) и локальным максимумом в точке (0, 1).
4. Финальный график $y = (|x-2|-1)^2$ получается из графика $y = (|x|-1)^2$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

При сдвиге точки графика смещаются: вершина из (-1, 0) в (1, 0), вершина из (1, 0) в (3, 0), локальный максимум из (0, 1) в (2, 1). График симметричен относительно прямой $x=2$.

Альтернативно, можно раскрыть модуль:
При $x \ge 2$: $y = (x-2-1)^2 = (x-3)^2$.
При $x < 2$: $y = (-(x-2)-1)^2 = (-x+2-1)^2 = (1-x)^2 = (x-1)^2$.
Таким образом, график состоит из левой части параболы $y=(x-1)^2$ (до точки $(2,1)$) и правой части параболы $y=(x-3)^2$ (от точки $(2,1)$).

Ответ: График функции $y = (|x-2|-1)^2$ имеет форму буквы "W". Он симметричен относительно прямой $x=2$, имеет точки минимума (вершины) в $(1, 0)$ и $(3, 0)$ и точку локального максимума в $(2, 1)$.

3) $y = \sqrt{|x-1|+2}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{|x-1|+2}$ используем метод преобразований.

1. Рассмотрим базовую функцию $y = \sqrt{x}$.
2. Сдвинем ее график на 2 единицы влево, чтобы получить $y = \sqrt{x+2}$. График начинается в точке (-2, 0).
3. Построим график $y = \sqrt{|x|+2}$. Эта функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ имеем $y = \sqrt{x+2}$. Берем эту часть графика (от точки $(0, \sqrt{2})$ вправо) и отражаем ее симметрично относительно оси Oy. Получится гладкая кривая с точкой минимума в $(0, \sqrt{2})$.
4. Искомый график $y = \sqrt{|x-1|+2}$ получается из графика $y = \sqrt{|x|+2}$ сдвигом на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

При сдвиге точка минимума переместится из $(0, \sqrt{2})$ в точку $(1, \sqrt{2})$. График будет симметричен относительно прямой $x=1$.

Раскрыв модуль, получим:
При $x \ge 1$: $y = \sqrt{(x-1)+2} = \sqrt{x+1}$.
При $x < 1$: $y = \sqrt{-(x-1)+2} = \sqrt{-x+3}$.
График состоит из правой ветви функции $y = \sqrt{x+1}$ (начиная с точки $(1, \sqrt{2})$) и левой ветви функции $y = \sqrt{-x+3}$ (до точки $(1, \sqrt{2})$), которые плавно соединяются в этой точке.

Ответ: График функции $y = \sqrt{|x-1|+2}$ — это гладкая кривая, симметричная относительно прямой $x=1$, с точкой минимума (вершиной) в $(1, \sqrt{2} \approx 1.41)$.

6.10. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{|x-3|}$;

2) $y = \sqrt{|x-2|-3}$;

3) $y = \frac{1}{||x-1|-4|}$.

1) $y = \sqrt{|x-3|}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{|x-3|}$ воспользуемся методом преобразования графиков, исходя из базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Строим график базовой функции $y_1 = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox, с вершиной в начале координат. График расположен в первой координатной четверти. Область определения: $x \ge 0$.

2. Строим график функции $y_2 = \sqrt{|x|}$. Этот график получается из графика $y_1 = \sqrt{x}$ следующим образом: часть графика для $x \ge 0$ остается без изменений, а затем эта часть симметрично отражается относительно оси Oy для $x < 0$. В результате получаем график, состоящий из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy, с общей точкой в начале координат (0, 0).

3. Строим искомый график функции $y = \sqrt{|x-3|}$. Этот график получается из графика $y_2 = \sqrt{|x|}$ путем сдвига вправо вдоль оси Ox на 3 единицы. Это преобразование вида $f(x) \to f(x-a)$.

Описание итогового графика:

• Область определения функции: $|x-3| \ge 0$, что выполняется для любых действительных чисел $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

• Область значений функции: $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.

• График состоит из двух ветвей, выходящих из точки (3, 0).

• График симметричен относительно вертикальной прямой $x=3$.

• При $x \ge 3$, функция принимает вид $y = \sqrt{x-3}$. Это правая ветвь, являющаяся графиком $y=\sqrt{x}$, сдвинутым на 3 единицы вправо.

• При $x < 3$, функция принимает вид $y = \sqrt{-(x-3)} = \sqrt{3-x}$. Это левая ветвь, являющаяся зеркальным отражением правой ветви относительно прямой $x=3$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{|x-3|}$ представляет собой две симметричные относительно прямой $x=3$ ветви, выходящие из точки (3, 0) и направленные вверх. Он получен путем сдвига графика функции $y=\sqrt{|x|}$ на 3 единицы вправо.

2) $y = \sqrt{|x-2|-3}$

Для построения графика этой функции сначала найдем ее область определения.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $|x-2|-3 \ge 0$ $|x-2| \ge 3$ Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x-2 \ge 3$ или $x-2 \le -3$ $x \ge 5$ или $x \le -1$ Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [5; +\infty)$. График будет существовать только в этих интервалах.

Теперь рассмотрим функцию на каждом из этих интервалов:

1. При $x \ge 5$: В этом случае $x-2 > 0$, поэтому $|x-2| = x-2$. Функция принимает вид: $y = \sqrt{(x-2)-3} = \sqrt{x-5}$. Это график функции $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 5 единиц вправо вдоль оси Ox. График начинается в точке (5, 0) и идет вправо и вверх.

2. При $x \le -1$: В этом случае $x-2 < 0$, поэтому $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Функция принимает вид: $y = \sqrt{(2-x)-3} = \sqrt{-x-1} = \sqrt{-(x+1)}$. Это график функции $y=\sqrt{-x}$ (которая симметрична $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy), сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси Ox. График начинается в точке (-1, 0) и идет влево и вверх.

Описание итогового графика:

• График состоит из двух отдельных ветвей.

• Первая ветвь начинается в точке (5, 0) и является частью параболы $y^2 = x-5$ при $y \ge 0$.

• Вторая ветвь начинается в точке (-1, 0) и является частью параболы $y^2 = -x-1$ при $y \ge 0$.

• График симметричен относительно вертикальной прямой $x=2$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{|x-2|-3}$ состоит из двух ветвей: одна начинается в точке (5, 0) и уходит вправо-вверх, другая начинается в точке (-1, 0) и уходит влево-вверх. График симметричен относительно прямой $x=2$.

3) $y = \frac{1}{|x-1|-4}$

Для построения графика этой функции найдем ее область определения, асимптоты и исследуем ее поведение.

1. Область определения.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $|x-1|-4 \neq 0$ $|x-1| \neq 4$ Отсюда: $x-1 \neq 4 \implies x \neq 5$ $x-1 \neq -4 \implies x \neq -3$ Область определения: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 5) \cup (5; +\infty)$.

2. Асимптоты.

• Вертикальные асимптоты: Прямые $x=-3$ и $x=5$, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль.

• Горизонтальная асимптота: При $x \to \pm\infty$, $|x-1| \to \infty$, знаменатель $|x-1|-4 \to \infty$, следовательно, $y \to 0$. Горизонтальная асимптота - это ось Ox ($y=0$).

3. Построение графика.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• Если $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$: Функция принимает вид $y = \frac{1}{(x-1)-4} = \frac{1}{x-5}$. На промежутке $[1, +\infty)$ (исключая точку $x=5$) строим график функции $y = \frac{1}{x-5}$. Это стандартная гипербола $y=1/x$, смещенная на 5 единиц вправо. Нас интересует ее часть при $x \ge 1$. Эта часть состоит из ветви в интервале $(5, +\infty)$ и куска в интервале $[1, 5)$.

• Если $x-1 < 0$, то есть $x < 1$: Функция принимает вид $y = \frac{1}{-(x-1)-4} = \frac{1}{-x-3} = -\frac{1}{x+3}$. На промежутке $(-\infty, 1)$ (исключая точку $x=-3$) строим график функции $y = -\frac{1}{x+3}$. Это гипербола $y=-1/x$, смещенная на 3 единицы влево. Нас интересует ее часть при $x < 1$. Эта часть состоит из ветви в интервале $(-\infty, -3)$ и куска в интервале $(-3, 1)$.

Описание итогового графика:

• График симметричен относительно прямой $x=1$.

• В точке $x=1$ графики "склеиваются": $\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-5} = \frac{1}{1-5} = -1/4$. $\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{-x-3} = \frac{1}{-1-3} = -1/4$. Точка $(1, -1/4)$ является точкой локального максимума.

• График состоит из трех частей: 1. Ветвь в интервале $(-\infty, -3)$, приближающаяся к асимптотам $x=-3$ и $y=0$ (сверху). 2. "Колоколообразная" кривая в интервале $(-3, 5)$, расположенная под осью Ox, с вершиной в точке $(1, -1/4)$ и уходящая в $-\infty$ при приближении к асимптотам $x=-3$ и $x=5$. 3. Ветвь в интервале $(5, +\infty)$, приближающаяся к асимптотам $x=5$ и $y=0$ (сверху).

Ответ: График функции $y = \frac{1}{|x-1|-4}$ имеет вертикальные асимптоты $x=-3$ и $x=5$, и горизонтальную асимптоту $y=0$. Он состоит из трех ветвей: двух ветвей гиперболического вида над осью Ox (при $x<-3$ и $x>5$) и одной кривой, похожей на перевернутый колокол, под осью Ox между асимптотами, с вершиной в точке $(1, -1/4)$.

6.11. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра a:

1) $||x| - 1| = a;$

2) $|(|x| - 1)^2 - 1| = a;$

3) $|\sqrt{x} - 2| = a?$

1)

Для решения уравнения $||x| - 1| = a$ исследуем количество пересечений графика функции $y = ||x| - 1|$ с горизонтальной прямой $y = a$.

Построим график функции $y = ||x| - 1|$:

1. Строим график $y = x$.
2. Часть графика при $x < 0$ заменяем симметричным отражением части при $x > 0$ относительно оси OY, получаем $y = |x|$. Это "галочка" с вершиной в (0, 0).
3. Сдвигаем график $y = |x|$ на 1 единицу вниз, получаем $y = |x| - 1$. Вершина смещается в точку (0, -1), а нули функции находятся в точках $x = -1$ и $x = 1$.
4. Часть графика, лежащую ниже оси OX (от $x = -1$ до $x = 1$), отражаем симметрично относительно оси OX. Получаем график $y = ||x| - 1|$. Это график в форме буквы "W". Ключевые точки: локальный максимум в (0, 1) и два локальных минимума в (-1, 0) и (1, 0).

Теперь проанализируем количество пересечений графика с прямой $y = a$ в зависимости от значения $a$:

• Если $a < 0$, прямая $y = a$ находится ниже оси OX и не имеет общих точек с графиком, так как значение модуля не может быть отрицательным. Корней нет.
• Если $a = 0$, прямая $y = a$ совпадает с осью OX и касается графика в двух точках минимума: $x = -1$ и $x = 1$. Уравнение имеет 2 корня.
• Если $0 < a < 1$, прямая $y = a$ пересекает график в четырех точках. Уравнение имеет 4 корня.
• Если $a = 1$, прямая $y = a$ проходит через локальный максимум (0, 1) и еще две точки. Решая уравнение $||x|-1| = 1$, получаем $|x|-1 = 1$ или $|x|-1 = -1$. Отсюда $|x|=2$ (два корня: $x=2, x=-2$) и $|x|=0$ (один корень: $x=0$). Всего 3 корня.
• Если $a > 1$, прямая $y = a$ пересекает "ветви" графика в двух точках. Решая уравнение $|x|-1 = a$ или $|x|-1 = -a$, получаем $|x| = a+1$ (два корня, так как $a+1 > 0$) и $|x| = 1-a$ (нет корней, так как $1-a < 0$). Всего 2 корня.

Ответ: при $a < 0$ корней нет; при $a = 0$ — 2 корня; при $0 < a < 1$ — 4 корня; при $a = 1$ — 3 корня; при $a > 1$ — 2 корня.

2)

Рассмотрим уравнение $|(|x| - 1)^2 - 1| = a$.

Пусть $t = |x|$, где $t \geq 0$. Уравнение примет вид $|(t - 1)^2 - 1| = a$.

Исследуем количество решений этого уравнения для $t \geq 0$, а затем для каждого найденного $t$ найдем количество соответствующих ему значений $x$.

• Если $t > 0$, то $|x| = t$ дает два корня ($x = t$ и $x = -t$).
• Если $t = 0$, то $|x| = 0$ дает один корень ($x = 0$).

Построим график функции $y = |(t - 1)^2 - 1|$ для $t \geq 0$.

1. График $y = (t-1)^2$ — парабола с вершиной в (1, 0).
2. Сдвигаем график на 1 вниз, получаем $y = (t-1)^2 - 1$. Вершина в (1, -1). Нули функции: $(t-1)^2 = 1$, откуда $t=0$ и $t=2$.
3. Применяем модуль: $y = |(t-1)^2 - 1|$. Часть графика ниже оси OT (при $0 < t < 2$) отражается вверх. Получаем локальный максимум в (1, 1) и нули в $t=0$ и $t=2$.

Найдем количество решений $t \geq 0$ в зависимости от $a$:

• Если $a < 0$, решений для $t$ нет. Следовательно, корней для $x$ нет.
• Если $a = 0$, прямая $y=0$ пересекает график в точках $t=0$ и $t=2$.
  - $t=0 \implies |x|=0 \implies x=0$ (1 корень).
  - $t=2 \implies |x|=2 \implies x=\pm 2$ (2 корня).
  Всего $1+2=3$ корня.
• Если $0 < a < 1$, прямая $y=a$ пересекает график в четырех точках $t_1, t_2, t_3, t_4$. Все эти значения $t$ положительны. Каждое из них дает 2 корня для $x$. Всего $4 \times 2 = 8$ корней.
• Если $a = 1$, прямая $y=1$ касается графика в точке $t=1$ и пересекает его еще в одной точке. Решим $|(t - 1)^2 - 1| = 1$:
  - $(t-1)^2 - 1 = 1 \implies (t-1)^2 = 2 \implies t = 1 \pm \sqrt{2}$. Так как $t \geq 0$, подходит $t = 1+\sqrt{2}$.
  - $(t-1)^2 - 1 = -1 \implies (t-1)^2 = 0 \implies t = 1$.
  Получаем два положительных решения для $t$: $t_1=1$ и $t_2=1+\sqrt{2}$.
  - $t=1 \implies |x|=1 \implies x=\pm 1$ (2 корня).
  - $t=1+\sqrt{2} \implies |x|=1+\sqrt{2} \implies x=\pm (1+\sqrt{2})$ (2 корня).
  Всего $2+2=4$ корня.
• Если $a > 1$, прямая $y=a$ пересекает график в двух точках. Решаем $(t-1)^2 - 1 = a$ (так как $a>1$, рассматриваем только внешние ветви параболы).
  - $(t-1)^2 = a+1 \implies t = 1 \pm \sqrt{a+1}$.
  Поскольку $a>1$, то $\sqrt{a+1} > \sqrt{2} > 1$. Значит, $1-\sqrt{a+1} < 0$, и это решение для $t$ не подходит. Остается одно положительное решение $t = 1+\sqrt{a+1}$.
  - $t=1+\sqrt{a+1} \implies |x|=1+\sqrt{a+1}$ (2 корня).
  Всего 2 корня.

Ответ: при $a < 0$ корней нет; при $a = 0$ — 3 корня; при $0 < a < 1$ — 8 корней; при $a = 1$ — 4 корня; при $a > 1$ — 2 корня.

3)

Рассмотрим уравнение $|\sqrt{x} - 2| = a$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$: $x \geq 0$.

Проанализируем уравнение:

• Если $a < 0$, уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным. Корней нет.
• Если $a = 0$, уравнение принимает вид $|\sqrt{x} - 2| = 0$, что равносильно $\sqrt{x} - 2 = 0$. Отсюда $\sqrt{x} = 2$, и $x = 4$. Это единственный корень.
• Если $a > 0$, уравнение распадается на два:
  1. $\sqrt{x} - 2 = a \implies \sqrt{x} = a+2$. Так как $a>0$, то $a+2 > 0$. Возводим в квадрат и получаем $x_1 = (a+2)^2$. Это всегда один корень.
  2. $\sqrt{x} - 2 = -a \implies \sqrt{x} = 2-a$. Это уравнение имеет решение только если $2-a \geq 0$, то есть $a \leq 2$.
     - Если $0 < a < 2$, то $2-a > 0$, и мы получаем второй корень $x_2 = (2-a)^2$. Всего 2 корня.
     - Если $a = 2$, то $\sqrt{x} = 0$, откуда $x_2=0$. Первый корень $x_1 = (2+2)^2 = 16$. Всего 2 корня.
     - Если $a > 2$, то $2-a < 0$, и это уравнение не имеет решений. Остается только один корень от первого случая.

Объединим результаты:

• При $a < 0$: корней нет.
• При $a = 0$: 1 корень ($x=4$).
• При $0 < a < 2$: 2 корня ($x_1 = (a+2)^2, x_2 = (2-a)^2$).
• При $a = 2$: 2 корня ($x_1 = 16, x_2 = 0$).
• При $a > 2$: 1 корень ($x_1 = (a+2)^2$).

Можно сгруппировать случаи для $a>0$: при $0 < a \leq 2$ будет 2 корня, а при $a > 2$ будет 1 корень.

Ответ: при $a < 0$ корней нет; при $a = 0$ — 1 корень; при $0 < a \leq 2$ — 2 корня; при $a > 2$ — 1 корень.

6.12. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра $a$:

1) $|x^2 - 1| = a$;

2) $|(x + 2)^2 - 3| = a$;

3) $|(|x| - 2)^2 - 3| = a$?

Решим уравнение $|x^2 - 1| = a$ графически. Для этого построим график функции $y = |x^2 - 1|$ и найдем количество точек его пересечения с горизонтальной прямой $y = a$.

График функции $y = |x^2 - 1|$ получается из графика параболы $y = x^2 - 1$. Парабола $y = x^2 - 1$ имеет вершину в точке $(0, -1)$ и пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 1$. Часть параболы, расположенная ниже оси Ox (при $x \in (-1, 1)$), симметрично отражается вверх относительно этой оси. В результате получаем график функции $y = |x^2 - 1|$, который имеет локальные минимумы в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и локальный максимум в точке $(0, 1)$.

Проанализируем количество точек пересечения графика $y = |x^2 - 1|$ с прямой $y = a$ в зависимости от значения параметра $a$.

1. Если $a < 0$, прямая $y=a$ находится ниже оси Ox. Поскольку значения функции $y = |x^2 - 1|$ неотрицательны, точек пересечения нет. Уравнение не имеет корней.

2. Если $a = 0$, прямая $y=a$ совпадает с осью Ox. График касается оси в двух точках $x = -1$ и $x = 1$. Уравнение имеет два корня.

3. Если $0 < a < 1$, прямая $y=a$ пересекает график в четырех точках.

4. Если $a = 1$, прямая $y=a$ проходит через локальный максимум $(0, 1)$ и пересекает две ветви параболы. Уравнение имеет три корня ($x=0, x=\pm\sqrt{2}$).

5. Если $a > 1$, прямая $y=a$ пересекает график в двух точках.

Ответ: если $a < 0$ – корней нет; если $a = 0$ или $a > 1$ – два корня; если $a = 1$ – три корня; если $0 < a < 1$ – четыре корня.

Решим уравнение $|(x + 2)^2 - 3| = a$ графически. Построим график функции $y = |(x + 2)^2 - 3|$ и найдем количество точек его пересечения с прямой $y = a$.

График функции $y = |(x + 2)^2 - 3|$ получается из графика параболы $y_1 = (x + 2)^2 - 3$. Это парабола с вершиной в точке $(-2, -3)$ и ветвями вверх. Она пересекает ось Ox в точках, где $(x+2)^2 = 3$, то есть $x = -2 \pm \sqrt{3}$. Часть параболы, лежащая ниже оси Ox, отражается симметрично относительно этой оси. В результате вершина $(-2, -3)$ переходит в точку локального максимума $(-2, 3)$, а точки пересечения с осью Ox становятся точками локального минимума.

Проанализируем количество точек пересечения графика $y = |(x + 2)^2 - 3|$ с прямой $y = a$.

1. Если $a < 0$, точек пересечения нет, так как $|(x + 2)^2 - 3| \ge 0$. Корней нет.

2. Если $a = 0$, прямая касается графика в двух точках минимума $x = -2 \pm \sqrt{3}$. Два корня.

3. Если $0 < a < 3$, прямая пересекает график в четырех точках.

4. Если $a = 3$, прямая проходит через локальный максимум $(-2, 3)$ и пересекает ветви параболы. Три корня ($x=-2, x=-2\pm\sqrt{6}$).

5. Если $a > 3$, прямая пересекает график в двух точках.

Ответ: если $a < 0$ – корней нет; если $a = 0$ или $a > 3$ – два корня; если $a = 3$ – три корня; если $0 < a < 3$ – четыре корня.

Решим уравнение $|(|x| - 2)^2 - 3| = a$ графически. Построим график функции $y = |(|x| - 2)^2 - 3|$.

Построение графика можно выполнить в несколько шагов:
- Строим график параболы $y_0 = (x-2)^2 - 3$ с вершиной в $(2, -3)$.
- Строим график функции $y_1 = (|x|-2)^2 - 3$. Так как эта функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y_0$. Таким образом, мы берем правую часть параболы $y_0$ и отражаем ее симметрично относительно оси Oy. Получаем W-образный график с локальным максимумом в $(0, 1)$ и двумя минимумами в $(\pm 2, -3)$.
- Строим график $y = |y_1| = |(|x|-2)^2-3|$ путем отражения частей графика $y_1$, лежащих ниже оси Ox, вверх. Минимумы $(\pm 2, -3)$ превратятся в локальные максимумы $(\pm 2, 3)$. Точка $(0, 1)$ остается локальным максимумом (острие). Точки пересечения графика $y_1$ с осью Ox ($x = \pm(2\pm\sqrt{3})$) становятся точками глобального минимума $y=0$.

Ключевые уровни для анализа: $y=0$ (минимумы), $y=1$ (центральный максимум), $y=3$ (боковые максимумы).

Проанализируем количество пересечений графика $y = |(|x| - 2)^2 - 3|$ с прямой $y=a$:

1. Если $a < 0$, корней нет.

2. Если $a = 0$, прямая пересекает график в четырех точках минимума. Четыре корня ($x=\pm(2-\sqrt{3}), x=\pm(2+\sqrt{3})$).

3. Если $0 < a < 1$, прямая пересекает график в восьми точках.

4. Если $a = 1$, прямая проходит через центральный максимум $x=0$ и пересекает график еще в шести точках. Всего семь корней ($x=0, x=\pm(2\pm\sqrt{2}), x=\pm 4$).

5. Если $1 < a < 3$, прямая пересекает график в шести точках.

6. Если $a = 3$, прямая проходит через два боковых максимума и пересекает график еще в двух точках. Четыре корня ($x=\pm 2, x=\pm(2+\sqrt{6})$).

7. Если $a > 3$, прямая пересекает график в двух точках.

Ответ: если $a < 0$ – корней нет; если $a > 3$ – два корня; если $a = 0$ или $a = 3$ – четыре корня; если $1 < a < 3$ – шесть корней; если $a = 1$ – семь корней; если $0 < a < 1$ – восемь корней.

6.13. Постройте график функции:

1) $y=\sqrt{2|x|-1}$;

2) $y=\sqrt{1-3|x|}$;

3) $y=\sqrt{|2x-1|}$.

1) $y = \sqrt{2|x| - 1}$

Для построения графика функции выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

   Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2|x| - 1 \ge 0$ $2|x| \ge 1$ $|x| \ge \frac{1}{2}$ Это неравенство выполняется при $x \ge \frac{1}{2}$ или $x \le -\frac{1}{2}$. Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; -0,5] \cup [0,5; \infty)$.

2. Проверим функцию на четность.

   $y(-x) = \sqrt{2|-x| - 1} = \sqrt{2|x| - 1} = y(x)$. Функция является четной, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Построим график для $x \ge 0,5$.

   На этом промежутке $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{2x - 1}$. Это ветвь параболы $x = \frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2}$, расположенная в верхней полуплоскости. Найдем несколько точек для построения:

   • при $x = 0,5$, $y = \sqrt{2 \cdot 0,5 - 1} = 0$. Точка $(0,5; 0)$.
   • при $x = 1$, $y = \sqrt{2 \cdot 1 - 1} = 1$. Точка $(1; 1)$.
   • при $x = 2,5$, $y = \sqrt{2 \cdot 2,5 - 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2,5; 2)$.
   • при $x = 5$, $y = \sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(5; 3)$.
4. Отобразим полученную часть графика симметрично относительно оси Oy.

   Благодаря четности функции, для $x \le -0,5$ график будет зеркальным отражением построенной ветви. Ключевые точки для левой ветви: $(-0,5; 0)$, $(-1; 1)$, $(-2,5; 2)$, $(-5; 3)$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy. Правая ветвь начинается в точке $(0,5; 0)$ и уходит вверх и вправо. Левая ветвь начинается в точке $(-0,5; 0)$ и уходит вверх и влево.

2) $y = \sqrt{1 - 3|x|}$

Для построения графика функции выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

   Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - 3|x| \ge 0$ $1 \ge 3|x|$ $|x| \le \frac{1}{3}$ Это неравенство равносильно $-\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{3}$. Таким образом, область определения: $D(y) = [-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}]$.

2. Проверим функцию на четность.

   $y(-x) = \sqrt{1 - 3|-x|} = \sqrt{1 - 3|x|} = y(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Построим график для $0 \le x \le \frac{1}{3}$.

   На этом промежутке $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{1 - 3x}$. Это часть верхней ветви параболы $x = -\frac{1}{3}y^2 + \frac{1}{3}$. Найдем ключевые точки:

   • при $x = 0$, $y = \sqrt{1 - 0} = 1$. Точка $(0; 1)$.
   • при $x = \frac{1}{3}$, $y = \sqrt{1 - 3 \cdot \frac{1}{3}} = 0$. Точка $(\frac{1}{3}; 0)$.
4. Отобразим полученную часть графика симметрично относительно оси Oy.

   Отражаем дугу, соединяющую точки $(0; 1)$ и $(\frac{1}{3}; 0)$, относительно оси Oy. Получим вторую часть графика, соединяющую точки $(-\frac{1}{3}; 0)$ и $(0; 1)$.

Ответ: График представляет собой дугу, симметричную относительно оси Oy, с концами в точках $(-\frac{1}{3}; 0)$ и $(\frac{1}{3}; 0)$ и вершиной в точке $(0; 1)$.

3) $y = \sqrt{|2x - 1|}$

Для построения графика функции выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

   Выражение под модулем $|2x - 1|$ всегда неотрицательно. Следовательно, выражение под корнем также всегда неотрицательно. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, то есть $x \in \mathbb{R}$.

2. Раскроем модуль.

   Модуль $|2x - 1|$ равен нулю при $x = \frac{1}{2}$. Разобьем область определения на два промежутка:

   а) Если $2x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{1}{2}$, то $|2x - 1| = 2x - 1$. Функция принимает вид $y = \sqrt{2x - 1}$.

   б) Если $2x - 1 < 0$, то есть $x < \frac{1}{2}$, то $|2x - 1| = -(2x - 1) = 1 - 2x$. Функция принимает вид $y = \sqrt{1 - 2x}$.

3. Построим график для каждого промежутка.

   а) Для $x \ge \frac{1}{2}$ строим график $y = \sqrt{2x - 1}$. Это ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{1}{2}; 0)$ и идущая вправо и вверх. Точки: $(\frac{1}{2}; 0)$, $(1; 1)$, $(2,5; 2)$.

   б) Для $x < \frac{1}{2}$ строим график $y = \sqrt{1 - 2x}$. Это ветвь параболы, симметричная предыдущей относительно прямой $x=\frac{1}{2}$, выходящая из точки $(\frac{1}{2}; 0)$ и идущая влево и вверх. Точки: $(\frac{1}{2}; 0)$, $(0; 1)$, $(-1,5; 2)$.

4. Объединим две части.

   График состоит из двух "крыльев", встречающихся в точке $(\frac{1}{2}; 0)$. График симметричен относительно вертикальной прямой $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: График функции состоит из двух параболических ветвей, выходящих из общей точки $(\frac{1}{2}; 0)$. Правая ветвь описывается уравнением $y = \sqrt{2x - 1}$ при $x \ge \frac{1}{2}$, левая — $y = \sqrt{1 - 2x}$ при $x < \frac{1}{2}$. График симметричен относительно прямой $x = \frac{1}{2}$.

6.14. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{3|x|+1};$

2) $y = \sqrt{|3x+1|}.$

1) $y = \sqrt{3|x| + 1}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{3|x| + 1}$ проанализируем её свойства.

1. Область определения. Выражение под корнем $3|x| + 1$ всегда неотрицательно, так как $|x| \ge 0$. Следовательно, $3|x| + 1 \ge 1$. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность. Проверим, является ли функция четной или нечетной. Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = \sqrt{3|-x| + 1} = \sqrt{3|x| + 1} = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Построение графика. Благодаря симметрии, мы можем построить часть графика для $x \ge 0$ и затем отразить её симметрично относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, модуль $|x|$ раскрывается как $x$, и функция принимает вид:
$y = \sqrt{3x + 1}$.

Это график функции $y = \sqrt{x}$, который сжат к оси Oy в 3 раза и сдвинут влево на 1/3 единицы. Построим его по точкам для $x \ge 0$:

• при $x = 0$, $y = \sqrt{3 \cdot 0 + 1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(0, 1)$.
• при $x = 1$, $y = \sqrt{3 \cdot 1 + 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(1, 2)$.
• при $x = 5$, $y = \sqrt{3 \cdot 5 + 1} = \sqrt{16} = 4$. Точка $(5, 4)$.
• при $x = 8/3$, $y = \sqrt{3 \cdot (8/3) + 1} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(8/3, 3)$.

Строим кривую по этим точкам в правой полуплоскости.

4. Полный график. Теперь отражаем полученную кривую симметрично относительно оси Oy. Точка $(0, 1)$ останется на месте. Точка $(1, 2)$ перейдет в $(-1, 2)$, точка $(5, 4)$ перейдет в $(-5, 4)$, и так далее.

Ответ: График функции представляет собой две ветви, симметричные относительно оси Oy и выходящие из общей точки $(0, 1)$. Каждая ветвь является частью параболы, ось которой параллельна оси Ox.

2) $y = \sqrt{|3x + 1|}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{|3x + 1|}$ раскроем модуль.

1. Область определения. Выражение под корнем $|3x + 1|$ всегда неотрицательно. Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Раскрытие модуля. Выражение в модуле $3x + 1$ меняет знак в точке $x = -1/3$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $3x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1/3$.
В этом случае $|3x + 1| = 3x + 1$, и функция принимает вид:
$y = \sqrt{3x + 1}$.
Это ветвь параболы, выходящая из точки, где подкоренное выражение равно нулю: $3x+1=0 \implies x=-1/3$. Начальная точка $(-1/3, 0)$. Найдем еще несколько точек:

• при $x = 0$, $y = \sqrt{1} = 1$. Точка $(0, 1)$.
• при $x = 1$, $y = \sqrt{4} = 2$. Точка $(1, 2)$.
• при $x = 8/3$, $y = \sqrt{9} = 3$. Точка $(8/3, 3)$.

Случай 2: $3x + 1 < 0$, то есть $x < -1/3$.
В этом случае $|3x + 1| = -(3x + 1) = -3x - 1$, и функция принимает вид:
$y = \sqrt{-3x - 1}$.
Это также ветвь параболы. Она начинается в точке, где $-3x-1=0 \implies x=-1/3$. Начальная точка также $(-1/3, 0)$. Найдем еще несколько точек:

• при $x = -2/3$, $y = \sqrt{-3(-2/3) - 1} = \sqrt{2 - 1} = 1$. Точка $(-2/3, 1)$.
• при $x = -5/3$, $y = \sqrt{-3(-5/3) - 1} = \sqrt{5 - 1} = 2$. Точка $(-5/3, 2)$.

Эта ветвь является зеркальным отражением первой ветви относительно вертикальной прямой $x = -1/3$.

3. Построение графика. Объединяем графики, построенные для двух случаев. Обе ветви начинаются в одной точке $(-1/3, 0)$ и расходятся вверх.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей параболы, выходящих из общей точки $(-1/3, 0)$ на оси Ox. График симметричен относительно вертикальной прямой $x = -1/3$.

6.15. При каких значениях параметра $a$ уравнение $||x - 1| - 1| = x - a$ имеет бесконечно много корней?

Уравнение $||x - 1| - 1| = x - a$ будет иметь бесконечно много корней в том случае, если на некотором числовом промежутке графики функций $y = ||x - 1| - 1|$ и $y = x - a$ совпадут.

Функция $y = x - a$ задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=1$.

Рассмотрим функцию $y = ||x - 1| - 1|$. Для построения ее графика раскроем модули. Сначала раскроем внутренний модуль $|x - 1|$:

1. При $x \ge 1$, имеем $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид $y = |(x - 1) - 1| = |x - 2|$.

2. При $x < 1$, имеем $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$. Функция принимает вид $y = |(1 - x) - 1| = |-x| = |x|$.

Теперь раскроем оставшиеся модули для каждого случая, получив кусочно-заданную функцию:

$ y = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ -(x-2) = 2 - x, & \text{если } 1 \le x < 2 \\ x - 2, & \text{если } x \ge 2 \end{cases} $

График функции $y = ||x - 1| - 1|$ состоит из четырех линейных участков с угловыми коэффициентами $-1, 1, -1, 1$ соответственно.

Для того чтобы прямая $y = x - a$ совпадала с частью графика $y = ||x - 1| - 1|$, их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент прямой $y = x - a$ равен 1. Следовательно, совпадение возможно только на тех участках, где угловой коэффициент функции $y = ||x - 1| - 1|$ также равен 1. Таких участков два:

Случай 1: Промежуток $0 \le x < 1$.

На этом промежутке функция имеет вид $y = x$. Для совпадения с прямой $y = x - a$ необходимо, чтобы выполнялось тождество $x = x - a$. Отсюда получаем $-a = 0$, то есть $a = 0$. При $a=0$ уравнение на промежутке $[0, 1)$ становится $x=x$, что верно для любого $x$ из этого промежутка. Таким образом, при $a=0$ уравнение имеет бесконечно много корней.

Случай 2: Промежуток $x \ge 2$.

На этом промежутке функция имеет вид $y = x - 2$. Для совпадения с прямой $y = x - a$ необходимо, чтобы выполнялось тождество $x - 2 = x - a$. Отсюда получаем $-2 = -a$, то есть $a = 2$. При $a=2$ уравнение на промежутке $[2, +\infty)$ становится $x-2=x-2$, что верно для любого $x$ из этого промежутка. Таким образом, при $a=2$ уравнение также имеет бесконечно много корней.

На других участках ($x<0$ и $1 \le x < 2$) угловой коэффициент равен -1, поэтому совпадение с прямой, имеющей угловой коэффициент 1, на целом промежутке невозможно.

Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней только при двух значениях параметра $a$.

Ответ: $a=0; a=2$.

6.16. При каких значениях параметра $a$ уравнение $ |3|x+1|-2| = a-x $ имеет 3 корня?

Для решения данной задачи воспользуемся графическим методом. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = f(x) = |3|x+1|-2|$ и $y = g(x) = a-x$.

1. Построение графика функции $y = |3|x+1|-2|$

Построим график функции $f(x)$ с помощью последовательных геометрических преобразований:

1. Начнем с графика $y_1 = |x+1|$. Это "уголок", вершина которого находится в точке $(-1, 0)$.
2. Далее, $y_2 = 3|x+1|$. Этот график получается из предыдущего растяжением в 3 раза вдоль оси Oy. Вершина остается в точке $(-1, 0)$, а угловые коэффициенты ветвей становятся равными $3$ и $-3$.
3. Следующий шаг — $y_3 = 3|x+1|-2$. Этот график получается сдвигом графика $y_2$ на 2 единицы вниз по оси Oy. Вершина "уголка" перемещается в точку $(-1, -2)$.
4. Наконец, строим график $y = f(x) = |3|x+1|-2|$. Он получается из графика $y_3$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той его части, которая лежит ниже этой оси.

В результате такого преобразования график приобретает W-образную форму. Найдем его ключевые точки (вершины):

• Вершина графика $y_3$, находившаяся в точке $(-1, -2)$, после отражения переходит в точку локального максимума $B(-1, 2)$.
• Точки пересечения графика $y_3$ с осью Ox становятся точками локальных минимумов (равных нулю) для графика $f(x)$. Найдем их, решив уравнение $3|x+1|-2 = 0$:
  $|x+1| = \frac{2}{3}$
  Отсюда получаем два уравнения: $x+1 = \frac{2}{3} \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$
  $x+1 = -\frac{2}{3} \Rightarrow x = -\frac{5}{3}$
  Таким образом, мы получаем две вершины на оси Ox: $A(-\frac{5}{3}, 0)$ и $C(-\frac{1}{3}, 0)$.

2. Анализ семейства прямых $y = a-x$

График уравнения $y = a-x$, или $y = -x+a$, представляет собой семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=-1$. Параметр $a$ определяет положение прямой на плоскости: при его изменении прямая сдвигается параллельно самой себе вдоль оси Oy.

3. Определение количества точек пересечения

Нам необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых прямая $y = -x+a$ пересекает W-образный график $y = f(x)$ ровно в трех точках. Такие ситуации, как правило, возникают, когда прямая проходит через одну из вершин ("точек излома") графика $f(x)$.

Рассмотрим эти случаи:

1. Прямая проходит через точку локального максимума $B(-1, 2)$.
   Подставим координаты этой точки в уравнение прямой $y = -x+a$:
   $2 = -(-1) + a \Rightarrow 2 = 1 + a \Rightarrow a = 1$.
   При $a=1$ прямая проходит через вершину $B$ и пересекает две крайние ветви графика $f(x)$, так как ее наклон ($-1$) по модулю меньше наклонов этих ветвей ($3$ и $-3$). Следовательно, мы имеем ровно 3 точки пересечения.
2. Прямая проходит через правую точку минимума $C(-\frac{1}{3}, 0)$.
   Подставим координаты точки $C$ в уравнение прямой:
   $0 = -(-\frac{1}{3}) + a \Rightarrow 0 = \frac{1}{3} + a \Rightarrow a = -\frac{1}{3}$.
   В этом случае прямая проходит через точку $C$ и пересекает две левые ветви графика. Всего получается 3 точки пересечения.
3. Прямая проходит через левую точку минимума $A(-\frac{5}{3}, 0)$.
   Подставим координаты точки $A$ в уравнение прямой:
   $0 = -(-\frac{5}{3}) + a \Rightarrow 0 = \frac{5}{3} + a \Rightarrow a = -\frac{5}{3}$.
   При таком значении $a$ прямая касается графика в точке $A$ и проходит ниже всех остальных его частей. В этом случае имеется только одна точка пересечения.

Таким образом, уравнение имеет ровно три корня при двух значениях параметра $a$.

Ответ: $a=1$; $a=-1/3$.