Номер 6.8, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.8. Постройте график функции:

1) $y=(|x|+2)^2$; 2) $y=\sqrt{|x|-3}$; 3) $y=\sqrt{2-|x|}$.

1) $y = (|x| + 2)^2$

Для построения графика этой функции проанализируем ее свойства.

1. Функция является четной, так как $y(-x) = (|-x| + 2)^2 = (|x| + 2)^2 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

2. В связи с симметрией, достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его зеркально относительно оси OY.

3. При $x \ge 0$, модуль $|x| = x$, и функция принимает вид $y = (x + 2)^2$. Это стандартная парабола $y = x^2$, сдвинутая на 2 единицы влево. Ее вершина находится в точке $(-2, 0)$.

4. Мы строим только ту часть параболы $y = (x + 2)^2$, которая соответствует условию $x \ge 0$. Найдем ключевые точки для этой части:

• Если $x = 0$, то $y = (0 + 2)^2 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• Если $x = 1$, то $y = (1 + 2)^2 = 9$. Точка $(1, 9)$.

Таким образом, для $x \ge 0$ мы получаем ветвь параболы, которая начинается в точке $(0, 4)$ и идет вверх.

5. Теперь отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси OY. Это даст нам часть графика для $x < 0$. Эта часть будет ветвью параболы $y = (-x + 2)^2$ или $y = (x - 2)^2$.

Итоговый график состоит из двух ветвей парабол, которые соединяются в точке $(0, 4)$.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух частей парабол: правой ветви параболы $y = (x+2)^2$ (для $x \ge 0$) и левой ветви параболы $y = (x-2)^2$ (для $x < 0$). График симметричен относительно оси OY и имеет точку минимума $(0, 4)$, в которой наблюдается излом.

2) $y = \sqrt{|x| - 3}$

1. Начнем с нахождения области определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $|x| - 3 \ge 0$, что эквивалентно $|x| \ge 3$. Решением этого неравенства является объединение двух промежутков: $x \ge 3$ и $x \le -3$. Итак, область определения $D(y) = (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

2. Функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt{|-x| - 3} = \sqrt{|x| - 3} = y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси OY.

3. Построим часть графика для $x \ge 3$. На этом промежутке $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x - 3}$. Это график стандартной функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы вправо вдоль оси OX. Некоторые точки этой ветви:

• Если $x = 3$, то $y = \sqrt{3 - 3} = 0$. Точка $(3, 0)$.
• Если $x = 4$, то $y = \sqrt{4 - 3} = 1$. Точка $(4, 1)$.
• Если $x = 7$, то $y = \sqrt{7 - 3} = 2$. Точка $(7, 2)$.

4. Отразим построенную ветвь симметрично относительно оси OY, чтобы получить часть графика для $x \le -3$. Эта вторая ветвь будет начинаться в точке $(-3, 0)$ и уходить влево и вверх.

Ответ: График состоит из двух симметричных относительно оси OY ветвей. Одна ветвь, являющаяся графиком $y = \sqrt{x-3}$, начинается в точке $(3, 0)$ и уходит вправо-вверх. Вторая ветвь, являющаяся графиком $y = \sqrt{-x-3}$, начинается в точке $(-3, 0)$ и уходит влево-вверх.

3) $y = \sqrt{2 - |x|}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2 - |x| \ge 0$, что эквивалентно $|x| \le 2$. Решением этого неравенства является отрезок $[-2, 2]$. Итак, область определения $D(y) = [-2, 2]$.

2. Функция является четной, поскольку $y(-x) = \sqrt{2 - |-x|} = \sqrt{2 - |x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.

3. Построим график для $x \ge 0$, то есть на отрезке $[0, 2]$. Здесь $|x| = x$, и функция имеет вид $y = \sqrt{2 - x}$. Найдем ключевые точки:

• Если $x = 0$, то $y = \sqrt{2 - 0} = \sqrt{2} \approx 1.41$. Точка $(0, \sqrt{2})$.
• Если $x = 1$, то $y = \sqrt{2 - 1} = 1$. Точка $(1, 1)$.
• Если $x = 2$, то $y = \sqrt{2 - 2} = 0$. Точка $(2, 0)$.

Это кривая, соединяющая точки $(0, \sqrt{2})$ и $(2, 0)$.

4. Отразив эту кривую симметрично относительно оси OY, получим вторую половину графика на отрезке $[-2, 0]$. Она будет соединять точки $(-2, 0)$ и $(0, \sqrt{2})$.

Весь график представляет собой арку.

Ответ: График функции — это кривая линия (арка), симметричная относительно оси OY, существующая только на отрезке $x \in [-2, 2]$. График начинается в точке $(-2, 0)$, поднимается до точки максимума $(0, \sqrt{2})$ и опускается до точки $(2, 0)$.