Номер 6.15, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.15. При каких значениях параметра $a$ уравнение $||x - 1| - 1| = x - a$ имеет бесконечно много корней?

Уравнение $||x - 1| - 1| = x - a$ будет иметь бесконечно много корней в том случае, если на некотором числовом промежутке графики функций $y = ||x - 1| - 1|$ и $y = x - a$ совпадут.

Функция $y = x - a$ задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=1$.

Рассмотрим функцию $y = ||x - 1| - 1|$. Для построения ее графика раскроем модули. Сначала раскроем внутренний модуль $|x - 1|$:

1. При $x \ge 1$, имеем $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид $y = |(x - 1) - 1| = |x - 2|$.

2. При $x < 1$, имеем $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$. Функция принимает вид $y = |(1 - x) - 1| = |-x| = |x|$.

Теперь раскроем оставшиеся модули для каждого случая, получив кусочно-заданную функцию:

$ y = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ -(x-2) = 2 - x, & \text{если } 1 \le x < 2 \\ x - 2, & \text{если } x \ge 2 \end{cases} $

График функции $y = ||x - 1| - 1|$ состоит из четырех линейных участков с угловыми коэффициентами $-1, 1, -1, 1$ соответственно.

Для того чтобы прямая $y = x - a$ совпадала с частью графика $y = ||x - 1| - 1|$, их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент прямой $y = x - a$ равен 1. Следовательно, совпадение возможно только на тех участках, где угловой коэффициент функции $y = ||x - 1| - 1|$ также равен 1. Таких участков два:

Случай 1: Промежуток $0 \le x < 1$.

На этом промежутке функция имеет вид $y = x$. Для совпадения с прямой $y = x - a$ необходимо, чтобы выполнялось тождество $x = x - a$. Отсюда получаем $-a = 0$, то есть $a = 0$. При $a=0$ уравнение на промежутке $[0, 1)$ становится $x=x$, что верно для любого $x$ из этого промежутка. Таким образом, при $a=0$ уравнение имеет бесконечно много корней.

Случай 2: Промежуток $x \ge 2$.

На этом промежутке функция имеет вид $y = x - 2$. Для совпадения с прямой $y = x - a$ необходимо, чтобы выполнялось тождество $x - 2 = x - a$. Отсюда получаем $-2 = -a$, то есть $a = 2$. При $a=2$ уравнение на промежутке $[2, +\infty)$ становится $x-2=x-2$, что верно для любого $x$ из этого промежутка. Таким образом, при $a=2$ уравнение также имеет бесконечно много корней.

На других участках ($x<0$ и $1 \le x < 2$) угловой коэффициент равен -1, поэтому совпадение с прямой, имеющей угловой коэффициент 1, на целом промежутке невозможно.

Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней только при двух значениях параметра $a$.

Ответ: $a=0; a=2$.