Номер 6.10, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.10. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{|x-3|}$;

2) $y = \sqrt{|x-2|-3}$;

3) $y = \frac{1}{||x-1|-4|}$.

1) $y = \sqrt{|x-3|}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{|x-3|}$ воспользуемся методом преобразования графиков, исходя из базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Строим график базовой функции $y_1 = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox, с вершиной в начале координат. График расположен в первой координатной четверти. Область определения: $x \ge 0$.

2. Строим график функции $y_2 = \sqrt{|x|}$. Этот график получается из графика $y_1 = \sqrt{x}$ следующим образом: часть графика для $x \ge 0$ остается без изменений, а затем эта часть симметрично отражается относительно оси Oy для $x < 0$. В результате получаем график, состоящий из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy, с общей точкой в начале координат (0, 0).

3. Строим искомый график функции $y = \sqrt{|x-3|}$. Этот график получается из графика $y_2 = \sqrt{|x|}$ путем сдвига вправо вдоль оси Ox на 3 единицы. Это преобразование вида $f(x) \to f(x-a)$.

Описание итогового графика:

• Область определения функции: $|x-3| \ge 0$, что выполняется для любых действительных чисел $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

• Область значений функции: $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.

• График состоит из двух ветвей, выходящих из точки (3, 0).

• График симметричен относительно вертикальной прямой $x=3$.

• При $x \ge 3$, функция принимает вид $y = \sqrt{x-3}$. Это правая ветвь, являющаяся графиком $y=\sqrt{x}$, сдвинутым на 3 единицы вправо.

• При $x < 3$, функция принимает вид $y = \sqrt{-(x-3)} = \sqrt{3-x}$. Это левая ветвь, являющаяся зеркальным отражением правой ветви относительно прямой $x=3$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{|x-3|}$ представляет собой две симметричные относительно прямой $x=3$ ветви, выходящие из точки (3, 0) и направленные вверх. Он получен путем сдвига графика функции $y=\sqrt{|x|}$ на 3 единицы вправо.

2) $y = \sqrt{|x-2|-3}$

Для построения графика этой функции сначала найдем ее область определения.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $|x-2|-3 \ge 0$ $|x-2| \ge 3$ Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x-2 \ge 3$ или $x-2 \le -3$ $x \ge 5$ или $x \le -1$ Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [5; +\infty)$. График будет существовать только в этих интервалах.

Теперь рассмотрим функцию на каждом из этих интервалов:

1. При $x \ge 5$: В этом случае $x-2 > 0$, поэтому $|x-2| = x-2$. Функция принимает вид: $y = \sqrt{(x-2)-3} = \sqrt{x-5}$. Это график функции $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 5 единиц вправо вдоль оси Ox. График начинается в точке (5, 0) и идет вправо и вверх.

2. При $x \le -1$: В этом случае $x-2 < 0$, поэтому $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Функция принимает вид: $y = \sqrt{(2-x)-3} = \sqrt{-x-1} = \sqrt{-(x+1)}$. Это график функции $y=\sqrt{-x}$ (которая симметрична $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy), сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси Ox. График начинается в точке (-1, 0) и идет влево и вверх.

Описание итогового графика:

• График состоит из двух отдельных ветвей.

• Первая ветвь начинается в точке (5, 0) и является частью параболы $y^2 = x-5$ при $y \ge 0$.

• Вторая ветвь начинается в точке (-1, 0) и является частью параболы $y^2 = -x-1$ при $y \ge 0$.

• График симметричен относительно вертикальной прямой $x=2$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{|x-2|-3}$ состоит из двух ветвей: одна начинается в точке (5, 0) и уходит вправо-вверх, другая начинается в точке (-1, 0) и уходит влево-вверх. График симметричен относительно прямой $x=2$.

3) $y = \frac{1}{|x-1|-4}$

Для построения графика этой функции найдем ее область определения, асимптоты и исследуем ее поведение.

1. Область определения.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $|x-1|-4 \neq 0$ $|x-1| \neq 4$ Отсюда: $x-1 \neq 4 \implies x \neq 5$ $x-1 \neq -4 \implies x \neq -3$ Область определения: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 5) \cup (5; +\infty)$.

2. Асимптоты.

• Вертикальные асимптоты: Прямые $x=-3$ и $x=5$, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль.

• Горизонтальная асимптота: При $x \to \pm\infty$, $|x-1| \to \infty$, знаменатель $|x-1|-4 \to \infty$, следовательно, $y \to 0$. Горизонтальная асимптота - это ось Ox ($y=0$).

3. Построение графика.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• Если $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$: Функция принимает вид $y = \frac{1}{(x-1)-4} = \frac{1}{x-5}$. На промежутке $[1, +\infty)$ (исключая точку $x=5$) строим график функции $y = \frac{1}{x-5}$. Это стандартная гипербола $y=1/x$, смещенная на 5 единиц вправо. Нас интересует ее часть при $x \ge 1$. Эта часть состоит из ветви в интервале $(5, +\infty)$ и куска в интервале $[1, 5)$.

• Если $x-1 < 0$, то есть $x < 1$: Функция принимает вид $y = \frac{1}{-(x-1)-4} = \frac{1}{-x-3} = -\frac{1}{x+3}$. На промежутке $(-\infty, 1)$ (исключая точку $x=-3$) строим график функции $y = -\frac{1}{x+3}$. Это гипербола $y=-1/x$, смещенная на 3 единицы влево. Нас интересует ее часть при $x < 1$. Эта часть состоит из ветви в интервале $(-\infty, -3)$ и куска в интервале $(-3, 1)$.

Описание итогового графика:

• График симметричен относительно прямой $x=1$.

• В точке $x=1$ графики "склеиваются": $\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-5} = \frac{1}{1-5} = -1/4$. $\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{-x-3} = \frac{1}{-1-3} = -1/4$. Точка $(1, -1/4)$ является точкой локального максимума.

• График состоит из трех частей: 1. Ветвь в интервале $(-\infty, -3)$, приближающаяся к асимптотам $x=-3$ и $y=0$ (сверху). 2. "Колоколообразная" кривая в интервале $(-3, 5)$, расположенная под осью Ox, с вершиной в точке $(1, -1/4)$ и уходящая в $-\infty$ при приближении к асимптотам $x=-3$ и $x=5$. 3. Ветвь в интервале $(5, +\infty)$, приближающаяся к асимптотам $x=5$ и $y=0$ (сверху).

Ответ: График функции $y = \frac{1}{|x-1|-4}$ имеет вертикальные асимптоты $x=-3$ и $x=5$, и горизонтальную асимптоту $y=0$. Он состоит из трех ветвей: двух ветвей гиперболического вида над осью Ox (при $x<-3$ и $x>5$) и одной кривой, похожей на перевернутый колокол, под осью Ox между асимптотами, с вершиной в точке $(1, -1/4)$.