Номер 6.5, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.5. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{2x - 1};$

2) $y = \sqrt{3 - 4x};$

3) $y = \sqrt{\frac{1}{2}x + 2};$

4) $y = 2\sqrt{3x - 1} + 1.$

1) Для построения графика функции $y = \sqrt{2x - 1}$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2x - 1 \ge 0$
$2x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{2}$
Область определения функции $D(y) = [\frac{1}{2}; +\infty)$. Это означает, что график будет расположен правее или на прямой $x = \frac{1}{2}$.
2. Найти начальную точку графика. Это точка с наименьшей возможной абсциссой $x = \frac{1}{2}$:
$y(\frac{1}{2}) = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2} - 1} = \sqrt{1 - 1} = 0$.
Начальная точка графика имеет координаты $(\frac{1}{2}; 0)$.
3. Найти несколько дополнительных точек, чтобы точнее построить график. Удобно выбирать такие значения $x$, при которых подкоренное выражение является полным квадратом.
- При $x = 1$: $y = \sqrt{2(1) - 1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1; 1)$.
- При $x = 2.5$: $y = \sqrt{2(2.5) - 1} = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2.5; 2)$.
- При $x = 5$: $y = \sqrt{2(5) - 1} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(5; 3)$.
4. Построение графика. Отмечаем на координатной плоскости точки $(\frac{1}{2}; 0)$, $(1; 1)$, $(2.5; 2)$, $(5; 3)$ и соединяем их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, идущую вправо и вверх от своей вершины.

Ответ: График функции — это ветвь параболы с вершиной в точке $(\frac{1}{2}; 0)$, направленная вправо и вверх.

2) Для построения графика функции $y = \sqrt{3 - 4x}$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$3 - 4x \ge 0$
$3 \ge 4x$
$x \le \frac{3}{4}$
Область определения функции $D(y) = (-\infty; \frac{3}{4}]$. Это означает, что график будет расположен левее или на прямой $x = \frac{3}{4}$.
2. Найти начальную точку графика. Это точка с наибольшей возможной абсциссой $x = \frac{3}{4}$:
$y(\frac{3}{4}) = \sqrt{3 - 4 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{3 - 3} = 0$.
Начальная точка графика имеет координаты $(\frac{3}{4}; 0)$.
3. Найти несколько дополнительных точек:
- При $x = \frac{1}{2}$: $y = \sqrt{3 - 4(\frac{1}{2})} = \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(\frac{1}{2}; 1)$.
- При $x = -\frac{1}{4}$: $y = \sqrt{3 - 4(-\frac{1}{4})} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-\frac{1}{4}; 2)$.
- При $x = -1.5$: $y = \sqrt{3 - 4(-1.5)} = \sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(-1.5; 3)$.
4. Построение графика. Отмечаем на координатной плоскости точки $(\frac{3}{4}; 0)$, $(\frac{1}{2}; 1)$, $(-\frac{1}{4}; 2)$, $(-1.5; 3)$ и соединяем их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, идущую влево и вверх от своей вершины.

Ответ: График функции — это ветвь параболы с вершиной в точке $(\frac{3}{4}; 0)$, направленная влево и вверх.

3) Для построения графика функции $y = \sqrt{\frac{1}{2}x + 2}$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти область определения функции:
$\frac{1}{2}x + 2 \ge 0$
$\frac{1}{2}x \ge -2$
$x \ge -4$
Область определения функции $D(y) = [-4; +\infty)$. График расположен правее или на прямой $x = -4$.
2. Найти начальную точку графика при $x = -4$:
$y(-4) = \sqrt{\frac{1}{2}(-4) + 2} = \sqrt{-2 + 2} = 0$.
Начальная точка графика имеет координаты $(-4; 0)$.
3. Найти несколько дополнительных точек:
- При $x = -2$: $y = \sqrt{\frac{1}{2}(-2) + 2} = \sqrt{-1 + 2} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-2; 1)$.
- При $x = 0$: $y = \sqrt{\frac{1}{2}(0) + 2} = \sqrt{2} \approx 1.41$. Точка $(0; \sqrt{2})$.
- При $x = 4$: $y = \sqrt{\frac{1}{2}(4) + 2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(4; 2)$.
4. Построение графика. Отмечаем на координатной плоскости точки $(-4; 0)$, $(-2; 1)$, $(4; 2)$ и соединяем их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, идущую вправо и вверх от своей вершины.

Ответ: График функции — это ветвь параболы с вершиной в точке $(-4; 0)$, направленная вправо и вверх.

4) Для построения графика функции $y = 2\sqrt{3x - 1} + 1$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти область определения функции:
$3x - 1 \ge 0$
$3x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{3}$
Область определения функции $D(y) = [\frac{1}{3}; +\infty)$. График расположен правее или на прямой $x = \frac{1}{3}$.
2. Найти начальную точку графика при $x = \frac{1}{3}$:
$y(\frac{1}{3}) = 2\sqrt{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} + 1 = 2\sqrt{1 - 1} + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1$.
Начальная точка графика имеет координаты $(\frac{1}{3}; 1)$.
3. Найти несколько дополнительных точек:
- При $x = \frac{2}{3}$: $y = 2\sqrt{3(\frac{2}{3}) - 1} + 1 = 2\sqrt{2 - 1} + 1 = 2\sqrt{1} + 1 = 3$. Точка $(\frac{2}{3}; 3)$.
- При $x = \frac{5}{3}$: $y = 2\sqrt{3(\frac{5}{3}) - 1} + 1 = 2\sqrt{5 - 1} + 1 = 2\sqrt{4} + 1 = 5$. Точка $(\frac{5}{3}; 5)$.
- При $x = \frac{10}{3}$: $y = 2\sqrt{3(\frac{10}{3}) - 1} + 1 = 2\sqrt{10 - 1} + 1 = 2\sqrt{9} + 1 = 7$. Точка $(\frac{10}{3}; 7)$.
4. Построение графика. Отмечаем на координатной плоскости точки $(\frac{1}{3}; 1)$, $(\frac{2}{3}; 3)$, $(\frac{5}{3}; 5)$ и соединяем их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, которая растянута по вертикали, выходит из точки $(\frac{1}{3}; 1)$ и идет вправо и вверх.

Ответ: График функции — это ветвь параболы с вершиной в точке $(\frac{1}{3}; 1)$, направленная вправо и вверх.