gdz.top
Номер 5.28, страница 50 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 1. Повторение и расширение сведений о множествах, математической логике и функциях. Параграф 5. Функция и её свойства - номер 5.28, страница 50.
№5.27
№5.28 (с. 50)
Условие. №5.28 (с. 50)
5.28. Решите уравнение
$|x + 1| - |x| = \sqrt{x^4 + 1}$
Решение. №5.28 (с. 50)
Исходное уравнение:
$$ |x + 1| - |x| = \sqrt{x^4} + 1 $$
Сначала упростим правую часть уравнения. Поскольку $x^4 = (x^2)^2$, то $\sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2|$. Так как $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), то $|x^2| = x^2$.
Таким образом, уравнение принимает вид:
$$ |x + 1| - |x| = x^2 + 1 $$
Теперь оценим возможные значения левой и правой частей уравнения.
Для левой части воспользуемся свойством модуля, известным как обратное неравенство треугольника: $|a| - |b| \le |a - b|$.
Пусть $a = x + 1$ и $b = x$. Тогда:
$$ |x + 1| - |x| \le |(x + 1) - x| = |1| = 1 $$
Следовательно, значение левой части уравнения не может быть больше 1.
Для правой части уравнения, $x^2 + 1$, имеем:
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Следовательно, значение правой части уравнения не может быть меньше 1.
Итак, мы получили, что левая часть уравнения меньше или равна 1, а правая часть больше или равна 1:
$$ |x + 1| - |x| \le 1 \quad \text{и} \quad x^2 + 1 \ge 1 $$
Равенство между левой и правой частями возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 1. Это приводит к системе уравнений:
$$ \begin{cases} |x + 1| - |x| = 1 \\ x^2 + 1 = 1 \end{cases} $$
Решим второе, более простое, уравнение системы:
$$ x^2 + 1 = 1 $$
$$ x^2 = 0 $$
$$ x = 0 $$
Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $x = 0$ первому уравнению системы.
Подставим $x = 0$ в левую часть:
$$ |0 + 1| - |0| = |1| - 0 = 1 $$
Равенство $1 = 1$ является верным. Следовательно, $x=0$ является единственным решением исходного уравнения.
Ответ: $0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 5.28 расположенного на странице 50 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.28 (с. 50), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.