Номер 5.27, страница 50 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.27. Найдите:

1) $ \min_{R} (|x-1|+|x-3|) $;

2) $ \max_{R} (|x+2|-|x|) $;

3) $ \max_{R} \frac{1}{x^2+1} $.

1) Чтобы найти минимальное значение функции $f(x) = |x-1| + |x-3|$, рассмотрим ее на различных интервалах, определяемых точками, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x=1$ и $x=3$.
1. При $x < 1$, оба выражения $x-1$ и $x-3$ отрицательны.
$f(x) = -(x-1) - (x-3) = -x+1-x+3 = 4-2x$.
На этом интервале функция линейно убывает.
2. При $1 \le x \le 3$, выражение $x-1$ неотрицательно, а $x-3$ неположительно.
$f(x) = (x-1) - (x-3) = x-1-x+3 = 2$.
На этом интервале функция постоянна.
3. При $x > 3$, оба выражения $x-1$ и $x-3$ положительны.
$f(x) = (x-1) + (x-3) = 2x-4$.
На этом интервале функция линейно возрастает.
Таким образом, функция убывает до $x=1$, затем принимает постоянное значение $2$ на отрезке $[1, 3]$, а затем возрастает. Следовательно, наименьшее значение функции равно $2$.
Геометрически, выражение $|x-1| + |x-3|$ представляет собой сумму расстояний от точки $x$ на числовой прямой до точек $1$ и $3$. Эта сумма минимальна, когда точка $x$ находится между точками $1$ и $3$, и равна расстоянию между ними, то есть $|3-1|=2$.
Ответ: 2.

2) Чтобы найти максимальное значение функции $g(x) = |x+2| - |x|$, рассмотрим ее на интервалах, определяемых нулями подмодульных выражений: $x=-2$ и $x=0$.
1. При $x < -2$, оба выражения $x+2$ и $x$ отрицательны.
$g(x) = -(x+2) - (-x) = -x-2+x = -2$.
2. При $-2 \le x < 0$, выражение $x+2$ неотрицательно, а $x$ отрицательно.
$g(x) = (x+2) - (-x) = x+2+x = 2x+2$.
На этом интервале функция линейно возрастает от $g(-2) = 2(-2)+2 = -2$ до $g(0) = 2(0)+2 = 2$ (не включая).
3. При $x \ge 0$, оба выражения $x+2$ и $x$ неотрицательны.
$g(x) = (x+2) - x = 2$.
На этом интервале функция постоянна.
Объединяя результаты, видим, что функция принимает значения от $-2$ до $2$ и достигает своего максимального значения $2$ при любом $x \ge 0$.
Альтернативно, можно использовать неравенство треугольника: $|a|-|b| \le |a-b|$.
Пусть $a=x+2$ и $b=x$. Тогда $|x+2|-|x| \le |(x+2)-x| = |2| = 2$.
Поскольку при $x \ge 0$ функция равна $2$, то это значение является максимальным.
Ответ: 2.

3) Чтобы найти максимальное значение функции $h(x) = \frac{1}{x^2+1}$, нужно найти минимальное значение ее знаменателя, так как числитель является положительной константой.
Рассмотрим знаменатель $D(x) = x^2+1$.
Поскольку для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$, то наименьшее значение $x^2$ равно $0$ и достигается при $x=0$.
Следовательно, минимальное значение знаменателя равно $D_{min} = 0^2+1 = 1$.
Это значение достигается при $x=0$.
Максимальное значение исходной функции будет равно:
$\max_{\mathbb{R}} \frac{1}{x^2+1} = \frac{1}{\min(x^2+1)} = \frac{1}{1} = 1$.
Ответ: 1.