Номер 6.3, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.3. Постройте график функции:

1) $y = |x^2 - 1|;$

2) $y = \left|\frac{2}{x - 1}\right|;$

3) $y = \left|\frac{x - 4}{x + 1}\right|.$

1) $y = |x^2 - 1|$

Для построения графика функции вида $y = |f(x)|$ необходимо сначала построить график функции $y = f(x)$, а затем ту часть графика, которая находится ниже оси абсцисс ($Ox$), симметрично отразить относительно этой оси.

1. Построим график функции $y = x^2 - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины параболы находятся в точке $(0, -1)$. График пересекает ось абсцисс ($y=0$) в точках, где $x^2 - 1 = 0$, то есть при $x=1$ и $x=-1$.

2. Теперь применим преобразование модуля. Часть параболы, где $y \ge 0$ (то есть при $x \le -1$ и $x \ge 1$), остается без изменений. Часть параболы, где $y < 0$ (на интервале $-1 < x < 1$), симметрично отражается относительно оси $Ox$. При этом вершина $(0, -1)$ переходит в точку $(0, 1)$.

Ответ: График функции $y = |x^2 - 1|$ состоит из двух частей параболы $y=x^2-1$ на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$, и части параболы $y=-(x^2-1)=1-x^2$ на промежутке $(-1, 1)$.

2) $y = |\frac{2}{x - 1}|$

Построение графика этой функции также осуществляется в два шага: построение графика функции без модуля и последующее симметричное отражение отрицательной части.

1. Построим график функции $y = \frac{2}{x - 1}$. Это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{2}{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$. У графика есть вертикальная асимптота $x = 1$ (так как в этой точке знаменатель обращается в ноль) и горизонтальная асимптота $y = 0$ (ось $Ox$).

При $x > 1$ значения функции положительны (ветвь гиперболы расположена в первой координатной четверти относительно асимптот). При $x < 1$ значения функции отрицательны (ветвь гиперболы расположена в третьей координатной четверти относительно асимптот).

2. Применим преобразование модуля. Ветвь гиперболы при $x > 1$, где $y > 0$, остается на своем месте. Ветвь гиперболы при $x < 1$, где $y < 0$, симметрично отражается относительно оси $Ox$ и теперь также будет расположена выше этой оси.

Ответ: График функции $y = |\frac{2}{x - 1}|$ представляет собой две ветви гиперболы, обе расположенные в верхней полуплоскости ($y > 0$). Асимптоты графика: вертикальная $x=1$ и горизонтальная $y=0$.

3) $y = |\frac{x - 4}{x + 1}|$

Действуем по аналогичному алгоритму.

1. Построим график функции $y = f(x) = \frac{x - 4}{x + 1}$. Для удобства преобразуем выражение, выделив целую часть: $y = \frac{x + 1 - 5}{x + 1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{5}{x+1} = 1 - \frac{5}{x+1}$.

Это гипербола, полученная из графика $y = -\frac{5}{x}$ путем сдвига на 1 единицу влево по оси $Ox$ и на 1 единицу вверх по оси $Oy$. Вертикальная асимптота: $x = -1$. Горизонтальная асимптота: $y = 1$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $y=0$, имеем $\frac{x-4}{x+1} = 0$, откуда $x=4$. Точка пересечения с осью $Ox$: $(4, 0)$.
• При $x=0$, имеем $y = \frac{0-4}{0+1} = -4$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, -4)$.

Определим знаки функции: $f(x) < 0$ на интервале $(-1, 4)$ и $f(x) \ge 0$ на интервалах $(-\infty, -1)$ и $[4, \infty)$.

2. Применим преобразование модуля. Части графика, где $y \ge 0$ (при $x < -1$ и $x \ge 4$), остаются без изменений. Часть графика, где $y < 0$ (на интервале $-1 < x < 4$), симметрично отражается относительно оси $Ox$. Точка $(0, -4)$ переходит в точку $(0, 4)$.

Ответ: График функции $y = |\frac{x - 4}{x + 1}|$ является преобразованной гиперболой с асимптотами $x=-1$ и $y=1$. Весь график расположен не ниже оси абсцисс ($y \ge 0$). Он касается оси $Ox$ в точке $(4,0)$. Часть исходной гиперболы, находившаяся на интервале $(-1, 4)$ под осью $Ox$, отражена вверх.