Номер 6.1, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Функция $y = \sqrt{\frac{x}{5}}$ является разновидностью функции квадратного корня $y = k\sqrt{x}$, где $k = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Графиком является ветвь параболы.

Область определения функции (ОДЗ): Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.
$\frac{x}{5} \ge 0 \implies x \ge 0$.
Следовательно, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений функции: Арифметический квадратный корень по определению принимает только неотрицательные значения.
$y \ge 0$.
Следовательно, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

Построение графика: График данной функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем его сжатия к оси Ox (растяжения от оси Oy). Для построения найдем несколько ключевых точек, принадлежащих графику.
- При $x=0$, $y=\sqrt{\frac{0}{5}} = 0$. Точка $(0; 0)$ — начало графика.
- При $x=5$, $y=\sqrt{\frac{5}{5}} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(5; 1)$.
- При $x=20$, $y=\sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(20; 2)$.
График начинается в начале координат и проходит через найденные точки, располагаясь в первой координатной четверти.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, выходящая из начала координат $(0; 0)$ и проходящая через точки $(5; 1)$ и $(20; 2)$, расположенная в первой координатной четверти.

Функция $y = \sqrt{-2x}$ является разновидностью функции квадратного корня. Графиком является ветвь параболы.

Область определения функции (ОДЗ): Выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$-2x \ge 0 \implies x \le 0$.
Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; 0]$.

Область значений функции: Значение квадратного корня всегда неотрицательно.
$y \ge 0$.
Следовательно, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

Построение графика: График функции $y = \sqrt{-2x}$ получается из графика $y = \sqrt{2x}$ путем симметричного отражения относительно оси Oy. Он расположен во второй координатной четверти. Найдем несколько точек для построения.
- При $x=0$, $y=\sqrt{-2 \cdot 0} = 0$. Точка $(0; 0)$ — начало графика.
- При $x=-2$, $y=\sqrt{-2 \cdot (-2)} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-2; 2)$.
- При $x=-8$, $y=\sqrt{-2 \cdot (-8)} = \sqrt{16} = 4$. Точка $(-8; 4)$.
График начинается в начале координат и уходит влево и вверх, проходя через вычисленные точки.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, выходящая из начала координат $(0; 0)$ и проходящая через точки $(-2; 2)$ и $(-8; 4)$, расположенная во второй координатной четверти.

Функция $y = (2x - 1)^2 - 4$ является квадратичной функцией, ее график — парабола.

Анализ функции: Преобразуем выражение, чтобы определить параметры параболы: $y = (2(x - \frac{1}{2}))^2 - 4 = 4(x - \frac{1}{2})^2 - 4$.
Это парабола $y=4x^2$, смещенная на $\frac{1}{2}$ вправо по оси Ox и на 4 вниз по оси Oy.

Вершина параболы: Координаты вершины $(x_0; y_0)$ находятся из вида $y = a(x-x_0)^2+y_0$. В нашем случае вершина находится в точке $(\frac{1}{2}; -4)$.

Направление ветвей: Коэффициент при квадрате переменной равен 4, что больше нуля ($a=4>0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Точки пересечения с осями координат:
- С осью Oy (при $x=0$): $y = (2\cdot0 - 1)^2 - 4 = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$. Точка пересечения $(0; -3)$.
- С осью Ox (при $y=0$): $(2x - 1)^2 - 4 = 0 \implies (2x - 1)^2 = 4 \implies 2x - 1 = \pm2$.
$2x - 1 = 2 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$. Точка пересечения $(1.5; 0)$.
$2x - 1 = -2 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$. Точка пересечения $(-0.5; 0)$.

Ответ: График функции — это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{2}; -4)$. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; -3)$ и ось Ox в точках $(-0.5; 0)$ и $(1.5; 0)$.

Функция $y = \frac{1}{4x + 1}$ является дробно-рациональной функцией, ее график — гипербола.

Область определения функции (ОДЗ): Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
$4x + 1 \ne 0 \implies 4x \ne -1 \implies x \ne -\frac{1}{4}$.
Следовательно, $D(y) = (-\infty; -0.25) \cup (-0.25; +\infty)$.

Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: Прямая $x = -\frac{1}{4}$ (или $x=-0.25$), так как в этой точке функция не определена.
- Горизонтальная асимптота: При $x \to \pm\infty$, значение дроби $y = \frac{1}{4x + 1}$ стремится к нулю. Следовательно, горизонтальная асимптота — это прямая $y=0$ (ось Ox).

Построение графика: График состоит из двух ветвей, расположенных в разных квадрантах относительно асимптот. Найдем несколько точек для построения.
- При $x=0$, $y = \frac{1}{4\cdot0 + 1} = 1$. Точка $(0; 1)$.
- При $x=-1$, $y = \frac{1}{4\cdot(-1) + 1} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$. Точка $(-1; -\frac{1}{3})$.
- При $x = -0.5$, $y = \frac{1}{4\cdot(-0.5) + 1} = \frac{1}{-2+1} = -1$. Точка $(-0.5; -1)$.
- При $x = 0.75$, $y = \frac{1}{4\cdot(0.75) + 1} = \frac{1}{3+1} = \frac{1}{4} = 0.25$. Точка $(0.75; 0.25)$.
Так как при $x > -0.25$ значения $y$ положительны, одна ветвь гиперболы находится в квадранте, ограниченном асимптотами справа и сверху. При $x < -0.25$ значения $y$ отрицательны, вторая ветвь находится в квадранте слева и снизу.

Ответ: График функции — гипербола. Вертикальная асимптота $x = -0.25$, горизонтальная асимптота $y=0$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами. График проходит через точки $(0; 1)$, $(-0.5; -1)$ и $(-1; -\frac{1}{3})$.