Страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Как можно построить график функции $y = f(kx)$, используя график функции $y = f(x)$, если $k > 0$; $k < 0$?

2. Как можно построить график функции $y = f(|x|)$, используя график функции $y = f(x)$?

3. Как можно построить график функции $y = |f(x)|$, используя график функции $y = f(x)$?

1. Построение графика функции $y = f(kx)$ из графика $y = f(x)$ является преобразованием растяжения или сжатия графика вдоль оси абсцисс (OX). Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0/k, y_0)$.

Случай 1: $k > 0$
Происходит горизонтальное растяжение или сжатие графика относительно оси ординат (OY).

• Если $k > 1$, то график функции $y = f(x)$ сжимается к оси OY в $k$ раз. Например, если точка $(4, 5)$ была на графике $y = f(x)$, то на графике $y = f(2x)$ ей будет соответствовать точка $(4/2, 5) = (2, 5)$.
• Если $0 < k < 1$, то график функции $y = f(x)$ растягивается от оси OY в $1/k$ раз. Например, если точка $(4, 5)$ была на графике $y = f(x)$, то на графике $y = f(0.5x)$ ей будет соответствовать точка $(4/0.5, 5) = (8, 5)$.

Случай 2: $k < 0$
Это преобразование можно разбить на два шага. Пусть $k = -m$, где $m > 0$. Тогда $y = f(kx) = f(-mx)$.

1. Сначала строится график функции $y = f(mx)$ путем сжатия (если $m>1$) или растяжения (если $0<m<1$) графика $y = f(x)$ вдоль оси OX, как описано выше для $k > 0$.
2. Затем полученный график симметрично отражается относительно оси OY. Это происходит потому, что аргумент функции $mx$ заменяется на $-mx$.

Таким образом, для построения графика $y=f(kx)$ при $k<0$ нужно выполнить сжатие/растяжение графика $y=f(x)$ к/от оси OY в $|k|$ раз, а затем отразить результат симметрично относительно оси OY.

Ответ: Если $k > 1$, график сжимается к оси OY в $k$ раз. Если $0 < k < 1$, график растягивается от оси OY в $1/k$ раз. Если $k < 0$, график сжимается/растягивается к/от оси OY в $|k|$ раз, а затем симметрично отражается относительно оси OY.

2. Чтобы построить график функции $y = f(|x|)$, используя график функции $y = f(x)$, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака $x$.

• При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, поэтому функция принимает вид $y = f(x)$. Это означает, что для всех неотрицательных значений $x$ (в правой полуплоскости, включая ось OY) график функции $y = f(|x|)$ полностью совпадает с графиком функции $y = f(x)$.
• При $x < 0$, имеем $|x| = -x$, поэтому функция принимает вид $y = f(-x)$. Это означает, что для всех отрицательных значений $x$ (в левой полуплоскости) график функции $y = f(|x|)$ является симметричным отражением относительно оси OY той части графика $y=f(x)$, которая находится в правой полуплоскости.

Алгоритм построения:

1. Оставить без изменений ту часть графика $y=f(x)$, которая находится при $x \ge 0$ (справа от оси OY и на самой оси).
2. Удалить (проигнорировать) ту часть графика $y=f(x)$, которая находится при $x < 0$ (слева от оси OY).
3. Отразить оставшуюся в пункте 1 часть графика симметрично относительно оси OY.

Полученный объединенный график и будет графиком функции $y = f(|x|)$. Эта функция всегда является четной.

Ответ: Часть графика $y = f(x)$, находящуюся в правой полуплоскости ($x \ge 0$), следует оставить без изменений, а затем отразить ее симметрично относительно оси OY в левую полуплоскость. Часть исходного графика в левой полуплоскости при этом игнорируется.

3. Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, используя график функции $y = f(x)$, нужно учесть, что абсолютная величина делает все значения функции неотрицательными.

• Если $f(x) \ge 0$, то $|f(x)| = f(x)$. Это означает, что те части графика $y = f(x)$, которые лежат выше оси OX или на ней, остаются без изменений.
• Если $f(x) < 0$, то $|f(x)| = -f(x)$. Это означает, что те части графика $y = f(x)$, которые лежат ниже оси OX, должны быть симметрично отражены относительно оси OX. При отражении, например, точка $(x_0, y_0)$ с $y_0 < 0$ перейдет в точку $(x_0, -y_0)$, где $-y_0 > 0$.

Алгоритм построения:

1. Оставить без изменений те части графика $y=f(x)$, где $y \ge 0$ (те, что лежат на оси OX и выше нее).
2. Те части графика $y=f(x)$, где $y < 0$ (те, что лежат ниже оси OX), симметрично отразить относительно оси OX.

Весь полученный график будет лежать в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

Ответ: Часть графика $y = f(x)$, расположенную выше оси OX и на самой оси, нужно оставить без изменений, а часть графика, расположенную ниже оси OX, следует симметрично отразить относительно оси OX.

6.1. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{\frac{x}{5}}$;

2) $y = \sqrt{-2x}$;

3) $y = (2x - 1)^2 - 4$;

4) $y = \frac{1}{4x + 1}$.

6.2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{5x}$;

2) $y = \sqrt{\frac{x}{3}}$;

3) $y = (2x - 1)^2 - 4$;

4) $y = \frac{1}{1-3x}$.

1) $y = \sqrt{5x}$

Это функция квадратного корня. Её график — ветвь параболы.

1. Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений: Значение квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Построение графика: График функции $y = \sqrt{5x}$ можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем вертикального растяжения в $\sqrt{5}$ раз (или горизонтального сжатия в 5 раз). Найдем несколько точек для построения:

• Если $x = 0$, то $y = \sqrt{5 \cdot 0} = 0$. Точка $(0; 0)$.
• Если $x = 1/5$, то $y = \sqrt{5 \cdot 1/5} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1/5; 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = \sqrt{5 \cdot 1} = \sqrt{5} \approx 2.24$. Точка $(1; \sqrt{5})$.
• Если $x = 5$, то $y = \sqrt{5 \cdot 5} = 5$. Точка $(5; 5)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим график функции. Он начинается в точке $(0;0)$ и уходит вправо и вверх.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и проходящая через точки $(1/5; 1)$ и $(5; 5)$.

2) $y = \sqrt{-\frac{x}{3}}$

Это также функция квадратного корня, график которой — ветвь параболы.

1. Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-\frac{x}{3} \ge 0$. Умножим на -3 и сменим знак неравенства: $x \le 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0]$.

2. Область значений: Значение квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Построение графика: График функции $y = \sqrt{-\frac{x}{3}}$ можно получить из графика функции $y = \sqrt{-x}$ (который симметричен $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy) путем горизонтального растяжения в 3 раза. Найдем несколько точек для построения:

• Если $x = 0$, то $y = \sqrt{-\frac{0}{3}} = 0$. Точка $(0; 0)$.
• Если $x = -3$, то $y = \sqrt{-\frac{-3}{3}} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-3; 1)$.
• Если $x = -12$, то $y = \sqrt{-\frac{-12}{3}} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-12; 2)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим график функции. Он начинается в точке $(0;0)$ и уходит влево и вверх.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и проходящая через точки $(-3; 1)$ и $(-12; 2)$.

3) $y = (2x - 1)^2 - 4$

Это квадратичная функция, её график — парабола.

1. Направление ветвей: Раскрыв скобки, получим $y = 4x^2 - 4x + 1 - 4 = 4x^2 - 4x - 3$. Коэффициент при $x^2$ равен 4, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины: Функция представлена в виде, близком к $y=a(x-h)^2+k$. Перепишем ее: $y = (2(x - 1/2))^2 - 4 = 4(x - 1/2)^2 - 4$. Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(1/2; -4)$.

3. Точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy (при $x=0$): $y = (2 \cdot 0 - 1)^2 - 4 = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$. Точка $(0; -3)$.
• С осью Ox (при $y=0$): $(2x - 1)^2 - 4 = 0 \implies (2x - 1)^2 = 4 \implies 2x - 1 = \pm 2$.
  $2x - 1 = 2 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$. Точка $(1.5; 0)$.
  $2x - 1 = -2 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$. Точка $(-0.5; 0)$.

4. Построение: Отмечаем на координатной плоскости вершину $(0.5; -4)$, точки пересечения с осями $(0; -3)$, $(-0.5; 0)$, $(1.5; 0)$ и, учитывая симметрию относительно прямой $x=0.5$, проводим параболу.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(0.5; -4)$, ветвями вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0; -3)$ и ось Ox в точках $(-0.5; 0)$ и $(1.5; 0)$.

4) $y = \frac{1}{1 - 3x}$

Это дробно-рациональная функция, её график — гипербола.

1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю: $1 - 3x \neq 0 \implies 3x \neq 1 \implies x \neq 1/3$. $D(y) = (-\infty; 1/3) \cup (1/3; +\infty)$.

2. Асимптоты:

• Вертикальная асимптота: прямая $x = 1/3$.
• Горизонтальная асимптота: так как степень числителя (0) меньше степени знаменателя (1), горизонтальная асимптота — это прямая $y=0$.

3. Построение графика: График состоит из двух ветвей, разделенных асимптотами. Найдем несколько точек для каждой ветви:

• При $x < 1/3$:
  Если $x = 0$, то $y = \frac{1}{1 - 0} = 1$. Точка $(0; 1)$.
  Если $x = -1$, то $y = \frac{1}{1 - 3(-1)} = \frac{1}{4}$. Точка $(-1; 1/4)$.
• При $x > 1/3$:
  Если $x = 2/3$, то $y = \frac{1}{1 - 3(2/3)} = \frac{1}{1 - 2} = -1$. Точка $(2/3; -1)$.
  Если $x = 1$, то $y = \frac{1}{1 - 3(1)} = \frac{1}{-2} = -0.5$. Точка $(1; -0.5)$.

Чертим асимптоты $x=1/3$ и $y=0$. Затем отмечаем вычисленные точки и проводим через них ветви гиперболы, приближающиеся к асимптотам.

Ответ: График функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x=1/3$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Одна ветвь проходит через точку $(0;1)$, другая — через точку $(1; -0.5)$.