Вопросы?, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Как можно построить график функции $y = f(kx)$, используя график функции $y = f(x)$, если $k > 0$; $k < 0$?

2. Как можно построить график функции $y = f(|x|)$, используя график функции $y = f(x)$?

3. Как можно построить график функции $y = |f(x)|$, используя график функции $y = f(x)$?

1. Построение графика функции $y = f(kx)$ из графика $y = f(x)$ является преобразованием растяжения или сжатия графика вдоль оси абсцисс (OX). Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0/k, y_0)$.

Случай 1: $k > 0$
Происходит горизонтальное растяжение или сжатие графика относительно оси ординат (OY).

• Если $k > 1$, то график функции $y = f(x)$ сжимается к оси OY в $k$ раз. Например, если точка $(4, 5)$ была на графике $y = f(x)$, то на графике $y = f(2x)$ ей будет соответствовать точка $(4/2, 5) = (2, 5)$.
• Если $0 < k < 1$, то график функции $y = f(x)$ растягивается от оси OY в $1/k$ раз. Например, если точка $(4, 5)$ была на графике $y = f(x)$, то на графике $y = f(0.5x)$ ей будет соответствовать точка $(4/0.5, 5) = (8, 5)$.

Случай 2: $k < 0$
Это преобразование можно разбить на два шага. Пусть $k = -m$, где $m > 0$. Тогда $y = f(kx) = f(-mx)$.

1. Сначала строится график функции $y = f(mx)$ путем сжатия (если $m>1$) или растяжения (если $0<m<1$) графика $y = f(x)$ вдоль оси OX, как описано выше для $k > 0$.
2. Затем полученный график симметрично отражается относительно оси OY. Это происходит потому, что аргумент функции $mx$ заменяется на $-mx$.

Таким образом, для построения графика $y=f(kx)$ при $k<0$ нужно выполнить сжатие/растяжение графика $y=f(x)$ к/от оси OY в $|k|$ раз, а затем отразить результат симметрично относительно оси OY.

Ответ: Если $k > 1$, график сжимается к оси OY в $k$ раз. Если $0 < k < 1$, график растягивается от оси OY в $1/k$ раз. Если $k < 0$, график сжимается/растягивается к/от оси OY в $|k|$ раз, а затем симметрично отражается относительно оси OY.

2. Чтобы построить график функции $y = f(|x|)$, используя график функции $y = f(x)$, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака $x$.

• При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, поэтому функция принимает вид $y = f(x)$. Это означает, что для всех неотрицательных значений $x$ (в правой полуплоскости, включая ось OY) график функции $y = f(|x|)$ полностью совпадает с графиком функции $y = f(x)$.
• При $x < 0$, имеем $|x| = -x$, поэтому функция принимает вид $y = f(-x)$. Это означает, что для всех отрицательных значений $x$ (в левой полуплоскости) график функции $y = f(|x|)$ является симметричным отражением относительно оси OY той части графика $y=f(x)$, которая находится в правой полуплоскости.

Алгоритм построения:

1. Оставить без изменений ту часть графика $y=f(x)$, которая находится при $x \ge 0$ (справа от оси OY и на самой оси).
2. Удалить (проигнорировать) ту часть графика $y=f(x)$, которая находится при $x < 0$ (слева от оси OY).
3. Отразить оставшуюся в пункте 1 часть графика симметрично относительно оси OY.

Полученный объединенный график и будет графиком функции $y = f(|x|)$. Эта функция всегда является четной.

Ответ: Часть графика $y = f(x)$, находящуюся в правой полуплоскости ($x \ge 0$), следует оставить без изменений, а затем отразить ее симметрично относительно оси OY в левую полуплоскость. Часть исходного графика в левой полуплоскости при этом игнорируется.

3. Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, используя график функции $y = f(x)$, нужно учесть, что абсолютная величина делает все значения функции неотрицательными.

• Если $f(x) \ge 0$, то $|f(x)| = f(x)$. Это означает, что те части графика $y = f(x)$, которые лежат выше оси OX или на ней, остаются без изменений.
• Если $f(x) < 0$, то $|f(x)| = -f(x)$. Это означает, что те части графика $y = f(x)$, которые лежат ниже оси OX, должны быть симметрично отражены относительно оси OX. При отражении, например, точка $(x_0, y_0)$ с $y_0 < 0$ перейдет в точку $(x_0, -y_0)$, где $-y_0 > 0$.

Алгоритм построения:

1. Оставить без изменений те части графика $y=f(x)$, где $y \ge 0$ (те, что лежат на оси OX и выше нее).
2. Те части графика $y=f(x)$, где $y < 0$ (те, что лежат ниже оси OX), симметрично отразить относительно оси OX.

Весь полученный график будет лежать в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

Ответ: Часть графика $y = f(x)$, расположенную выше оси OX и на самой оси, нужно оставить без изменений, а часть графика, расположенную ниже оси OX, следует симметрично отразить относительно оси OX.