Номер 6.14, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.14. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{3|x|+1};$

2) $y = \sqrt{|3x+1|}.$

1) $y = \sqrt{3|x| + 1}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{3|x| + 1}$ проанализируем её свойства.

1. Область определения. Выражение под корнем $3|x| + 1$ всегда неотрицательно, так как $|x| \ge 0$. Следовательно, $3|x| + 1 \ge 1$. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность. Проверим, является ли функция четной или нечетной. Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = \sqrt{3|-x| + 1} = \sqrt{3|x| + 1} = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Построение графика. Благодаря симметрии, мы можем построить часть графика для $x \ge 0$ и затем отразить её симметрично относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, модуль $|x|$ раскрывается как $x$, и функция принимает вид:
$y = \sqrt{3x + 1}$.

Это график функции $y = \sqrt{x}$, который сжат к оси Oy в 3 раза и сдвинут влево на 1/3 единицы. Построим его по точкам для $x \ge 0$:

• при $x = 0$, $y = \sqrt{3 \cdot 0 + 1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(0, 1)$.
• при $x = 1$, $y = \sqrt{3 \cdot 1 + 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(1, 2)$.
• при $x = 5$, $y = \sqrt{3 \cdot 5 + 1} = \sqrt{16} = 4$. Точка $(5, 4)$.
• при $x = 8/3$, $y = \sqrt{3 \cdot (8/3) + 1} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(8/3, 3)$.

Строим кривую по этим точкам в правой полуплоскости.

4. Полный график. Теперь отражаем полученную кривую симметрично относительно оси Oy. Точка $(0, 1)$ останется на месте. Точка $(1, 2)$ перейдет в $(-1, 2)$, точка $(5, 4)$ перейдет в $(-5, 4)$, и так далее.

Ответ: График функции представляет собой две ветви, симметричные относительно оси Oy и выходящие из общей точки $(0, 1)$. Каждая ветвь является частью параболы, ось которой параллельна оси Ox.

2) $y = \sqrt{|3x + 1|}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{|3x + 1|}$ раскроем модуль.

1. Область определения. Выражение под корнем $|3x + 1|$ всегда неотрицательно. Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Раскрытие модуля. Выражение в модуле $3x + 1$ меняет знак в точке $x = -1/3$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $3x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1/3$.
В этом случае $|3x + 1| = 3x + 1$, и функция принимает вид:
$y = \sqrt{3x + 1}$.
Это ветвь параболы, выходящая из точки, где подкоренное выражение равно нулю: $3x+1=0 \implies x=-1/3$. Начальная точка $(-1/3, 0)$. Найдем еще несколько точек:

• при $x = 0$, $y = \sqrt{1} = 1$. Точка $(0, 1)$.
• при $x = 1$, $y = \sqrt{4} = 2$. Точка $(1, 2)$.
• при $x = 8/3$, $y = \sqrt{9} = 3$. Точка $(8/3, 3)$.

Случай 2: $3x + 1 < 0$, то есть $x < -1/3$.
В этом случае $|3x + 1| = -(3x + 1) = -3x - 1$, и функция принимает вид:
$y = \sqrt{-3x - 1}$.
Это также ветвь параболы. Она начинается в точке, где $-3x-1=0 \implies x=-1/3$. Начальная точка также $(-1/3, 0)$. Найдем еще несколько точек:

• при $x = -2/3$, $y = \sqrt{-3(-2/3) - 1} = \sqrt{2 - 1} = 1$. Точка $(-2/3, 1)$.
• при $x = -5/3$, $y = \sqrt{-3(-5/3) - 1} = \sqrt{5 - 1} = 2$. Точка $(-5/3, 2)$.

Эта ветвь является зеркальным отражением первой ветви относительно вертикальной прямой $x = -1/3$.

3. Построение графика. Объединяем графики, построенные для двух случаев. Обе ветви начинаются в одной точке $(-1/3, 0)$ и расходятся вверх.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей параболы, выходящих из общей точки $(-1/3, 0)$ на оси Ox. График симметричен относительно вертикальной прямой $x = -1/3$.