Номер 6.17, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.17. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|2|x + a| - 1| = x - 1$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение: $|2|x+a|-1| = x-1$.

Для того чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной, так как в левой части стоит модуль. Таким образом, получаем ограничение на $x$:

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

При выполнении этого условия ($x \ge 1$) можно раскрыть внешний модуль. Уравнение распадается на два случая:

$2|x+a|-1 = x-1$ или $2|x+a|-1 = -(x-1)$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $2|x+a|-1 = x-1$

Преобразуем уравнение:

$2|x+a| = x$

Так как $x \ge 1$, правая часть $x$ положительна. Раскрываем модуль $|x+a|$:

1a) Если $x+a \ge 0$, то уравнение принимает вид $2(x+a) = x$.

$2x + 2a = x \implies x = -2a$.

Этот корень существует, если выполнены все условия:

• $x \ge 1 \implies -2a \ge 1 \implies a \le -1/2$.
• $x+a \ge 0 \implies -2a+a \ge 0 \implies -a \ge 0 \implies a \le 0$.

Объединяя условия, получаем, что корень $x_1 = -2a$ существует при $a \le -1/2$.

1б) Если $x+a < 0$, то уравнение принимает вид $2(-(x+a)) = x$.

$-2x - 2a = x \implies 3x = -2a \implies x = -2a/3$.

Этот корень существует, если выполнены все условия:

• $x \ge 1 \implies -2a/3 \ge 1 \implies -2a \ge 3 \implies a \le -3/2$.
• $x+a < 0 \implies -2a/3 + a < 0 \implies a/3 < 0 \implies a < 0$.

Объединяя условия, получаем, что корень $x_2 = -2a/3$ существует при $a \le -3/2$.

Случай 2: $2|x+a|-1 = -(x-1)$

Преобразуем уравнение:

$2|x+a|-1 = 1-x$

$2|x+a| = 2-x$

Для существования решений в этом случае необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $2-x \ge 0 \implies x \le 2$. С учетом исходного ограничения $x \ge 1$, решения этого случая должны лежать в отрезке $[1, 2]$.

Раскрываем модуль $|x+a|$:

2а) Если $x+a \ge 0$, то уравнение принимает вид $2(x+a) = 2-x$.

$2x+2a=2-x \implies 3x=2-2a \implies x = (2-2a)/3$.

Этот корень существует, если выполнены все условия:

• $1 \le x \le 2 \implies 1 \le (2-2a)/3 \le 2 \implies 3 \le 2-2a \le 6 \implies 1 \le -2a \le 4 \implies -2 \le a \le -1/2$.
• $x+a \ge 0 \implies (2-2a)/3 + a \ge 0 \implies 2-2a+3a \ge 0 \implies 2+a \ge 0 \implies a \ge -2$.

Объединяя условия, получаем, что корень $x_3 = (2-2a)/3$ существует при $-2 \le a \le -1/2$.

2б) Если $x+a < 0$, то уравнение принимает вид $2(-(x+a)) = 2-x$.

$-2x-2a=2-x \implies x = -2a-2$.

Этот корень существует, если выполнены все условия:

• $1 \le x \le 2 \implies 1 \le -2a-2 \le 2 \implies 3 \le -2a \le 4 \implies -2 \le a \le -3/2$.
• $x+a < 0 \implies (-2a-2) + a < 0 \implies -a-2 < 0 \implies a > -2$.

Объединяя условия, получаем, что корень $x_4 = -2a-2$ существует при $-2 < a \le -3/2$.

Анализ количества корней

Сведем все найденные корни и условия их существования:

• $x_1 = -2a$ при $a \le -1/2$
• $x_2 = -2a/3$ при $a \le -3/2$
• $x_3 = (2-2a)/3$ при $-2 \le a \le -1/2$
• $x_4 = -2a-2$ при $-2 < a \le -3/2$

Теперь исследуем количество различных корней в зависимости от значения параметра $a$, рассматривая интервалы, определяемые точками $a=-2, a=-3/2, a=-1/2$.

• При $a < -2$: существуют корни $x_1$ и $x_2$. Они различны, так как $x_1=x_2$ только при $a=0$. Итого 2 корня.
• При $a = -2$: существуют корни $x_1=4$, $x_2=4/3$, $x_3=2$. Итого 3 корня.
• При $-2 < a < -3/2$: существуют все четыре корня $x_1, x_2, x_3, x_4$. Можно проверить, что на этом интервале все они различны. Итого 4 корня.
• При $a = -3/2$: существуют корни $x_1=3$, $x_2=1$, $x_3=5/3$, $x_4=1$. Здесь $x_2=x_4$. Итого 3 различных корня.
• При $-3/2 < a < -1/2$: существуют корни $x_1$ и $x_3$. Они различны, так как $x_1=x_3$ только при $a=-1/2$. Итого 2 корня.
• При $a = -1/2$: существуют корни $x_1 = -2(-1/2) = 1$ и $x_3 = (2-2(-1/2))/3 = (2+1)/3 = 1$. Оба корня совпадают и равны 1. Итого 1 корень.
• При $a > -1/2$: ни одно из условий существования корней не выполняется. Корней нет.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень только при $a = -1/2$.

Ответ: $a = -1/2$.