Номер 6.13, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.13. Постройте график функции:

1) $y=\sqrt{2|x|-1}$;

2) $y=\sqrt{1-3|x|}$;

3) $y=\sqrt{|2x-1|}$.

1) $y = \sqrt{2|x| - 1}$

Для построения графика функции выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

   Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2|x| - 1 \ge 0$ $2|x| \ge 1$ $|x| \ge \frac{1}{2}$ Это неравенство выполняется при $x \ge \frac{1}{2}$ или $x \le -\frac{1}{2}$. Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; -0,5] \cup [0,5; \infty)$.

2. Проверим функцию на четность.

   $y(-x) = \sqrt{2|-x| - 1} = \sqrt{2|x| - 1} = y(x)$. Функция является четной, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Построим график для $x \ge 0,5$.

   На этом промежутке $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{2x - 1}$. Это ветвь параболы $x = \frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2}$, расположенная в верхней полуплоскости. Найдем несколько точек для построения:

   • при $x = 0,5$, $y = \sqrt{2 \cdot 0,5 - 1} = 0$. Точка $(0,5; 0)$.
   • при $x = 1$, $y = \sqrt{2 \cdot 1 - 1} = 1$. Точка $(1; 1)$.
   • при $x = 2,5$, $y = \sqrt{2 \cdot 2,5 - 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2,5; 2)$.
   • при $x = 5$, $y = \sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(5; 3)$.
4. Отобразим полученную часть графика симметрично относительно оси Oy.

   Благодаря четности функции, для $x \le -0,5$ график будет зеркальным отражением построенной ветви. Ключевые точки для левой ветви: $(-0,5; 0)$, $(-1; 1)$, $(-2,5; 2)$, $(-5; 3)$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy. Правая ветвь начинается в точке $(0,5; 0)$ и уходит вверх и вправо. Левая ветвь начинается в точке $(-0,5; 0)$ и уходит вверх и влево.

2) $y = \sqrt{1 - 3|x|}$

Для построения графика функции выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

   Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - 3|x| \ge 0$ $1 \ge 3|x|$ $|x| \le \frac{1}{3}$ Это неравенство равносильно $-\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{3}$. Таким образом, область определения: $D(y) = [-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}]$.

2. Проверим функцию на четность.

   $y(-x) = \sqrt{1 - 3|-x|} = \sqrt{1 - 3|x|} = y(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Построим график для $0 \le x \le \frac{1}{3}$.

   На этом промежутке $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{1 - 3x}$. Это часть верхней ветви параболы $x = -\frac{1}{3}y^2 + \frac{1}{3}$. Найдем ключевые точки:

   • при $x = 0$, $y = \sqrt{1 - 0} = 1$. Точка $(0; 1)$.
   • при $x = \frac{1}{3}$, $y = \sqrt{1 - 3 \cdot \frac{1}{3}} = 0$. Точка $(\frac{1}{3}; 0)$.
4. Отобразим полученную часть графика симметрично относительно оси Oy.

   Отражаем дугу, соединяющую точки $(0; 1)$ и $(\frac{1}{3}; 0)$, относительно оси Oy. Получим вторую часть графика, соединяющую точки $(-\frac{1}{3}; 0)$ и $(0; 1)$.

Ответ: График представляет собой дугу, симметричную относительно оси Oy, с концами в точках $(-\frac{1}{3}; 0)$ и $(\frac{1}{3}; 0)$ и вершиной в точке $(0; 1)$.

3) $y = \sqrt{|2x - 1|}$

Для построения графика функции выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).

   Выражение под модулем $|2x - 1|$ всегда неотрицательно. Следовательно, выражение под корнем также всегда неотрицательно. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, то есть $x \in \mathbb{R}$.

2. Раскроем модуль.

   Модуль $|2x - 1|$ равен нулю при $x = \frac{1}{2}$. Разобьем область определения на два промежутка:

   а) Если $2x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{1}{2}$, то $|2x - 1| = 2x - 1$. Функция принимает вид $y = \sqrt{2x - 1}$.

   б) Если $2x - 1 < 0$, то есть $x < \frac{1}{2}$, то $|2x - 1| = -(2x - 1) = 1 - 2x$. Функция принимает вид $y = \sqrt{1 - 2x}$.

3. Построим график для каждого промежутка.

   а) Для $x \ge \frac{1}{2}$ строим график $y = \sqrt{2x - 1}$. Это ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{1}{2}; 0)$ и идущая вправо и вверх. Точки: $(\frac{1}{2}; 0)$, $(1; 1)$, $(2,5; 2)$.

   б) Для $x < \frac{1}{2}$ строим график $y = \sqrt{1 - 2x}$. Это ветвь параболы, симметричная предыдущей относительно прямой $x=\frac{1}{2}$, выходящая из точки $(\frac{1}{2}; 0)$ и идущая влево и вверх. Точки: $(\frac{1}{2}; 0)$, $(0; 1)$, $(-1,5; 2)$.

4. Объединим две части.

   График состоит из двух "крыльев", встречающихся в точке $(\frac{1}{2}; 0)$. График симметричен относительно вертикальной прямой $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: График функции состоит из двух параболических ветвей, выходящих из общей точки $(\frac{1}{2}; 0)$. Правая ветвь описывается уравнением $y = \sqrt{2x - 1}$ при $x \ge \frac{1}{2}$, левая — $y = \sqrt{1 - 2x}$ при $x < \frac{1}{2}$. График симметричен относительно прямой $x = \frac{1}{2}$.