Номер 7.3, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.3. Докажите, что функции $f$ и $g$ являются взаимно обратными:

1) $f(x) = 4x + 2, g(x) = \frac{x}{4} - \frac{1}{2};$

2) $f(x) = (x - 3)^2, D(f) = [3; +\infty), g(x) = \sqrt{x} + 3.$

Чтобы доказать, что функции $f$ и $g$ являются взаимно обратными, необходимо проверить выполнение двух условий: $f(g(x)) = x$ для всех $x$ из области определения функции $g$, и $g(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения функции $f$.

1) $f(x) = 4x + 2$, $g(x) = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$

Области определения обеих функций – все действительные числа ($D(f) = \mathbb{R}$, $D(g) = \mathbb{R}$).

Проверим первое условие, найдя композицию $f(g(x))$:

$f(g(x)) = 4(g(x)) + 2 = 4(\frac{x}{4} - \frac{1}{2}) + 2 = 4 \cdot \frac{x}{4} - 4 \cdot \frac{1}{2} + 2 = x - 2 + 2 = x$.

Проверим второе условие, найдя композицию $g(f(x))$:

$g(f(x)) = \frac{f(x)}{4} - \frac{1}{2} = \frac{4x + 2}{4} - \frac{1}{2} = \frac{4x}{4} + \frac{2}{4} - \frac{1}{2} = x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = x$.

Оба условия выполняются, следовательно, функции $f$ и $g$ являются взаимно обратными.

Ответ: Доказано.

2) $f(x) = (x - 3)^2$, $D(f) = [3; +\infty)$, $g(x) = \sqrt{x} + 3$

Сначала определим области определения и значений для обеих функций.

Для $f(x)$: Область определения задана: $D(f) = [3; +\infty)$. Поскольку $x \geq 3$, то $x - 3 \geq 0$, и значит $f(x) = (x-3)^2 \geq 0$. Область значений $E(f) = [0; +\infty)$.

Для $g(x)$: Выражение под корнем должно быть неотрицательным, т.е. $x \geq 0$. Значит, область определения $D(g) = [0; +\infty)$. Поскольку $\sqrt{x} \geq 0$, то $g(x) = \sqrt{x} + 3 \geq 3$. Область значений $E(g) = [3; +\infty)$.

Условия для обратимости функций ($D(f) = E(g)$ и $E(f) = D(g)$) выполняются.

Проверим первое условие, найдя композицию $f(g(x))$ для $x \in D(g)$, т.е. $x \geq 0$:

$f(g(x)) = (g(x) - 3)^2 = ((\sqrt{x} + 3) - 3)^2 = (\sqrt{x})^2 = x$.

Проверим второе условие, найдя композицию $g(f(x))$ для $x \in D(f)$, т.е. $x \geq 3$:

$g(f(x)) = \sqrt{f(x)} + 3 = \sqrt{(x - 3)^2} + 3 = |x - 3| + 3$.

Так как по условию $x \geq 3$, то выражение $x-3$ является неотрицательным, и, следовательно, $|x - 3| = x - 3$.

$g(f(x)) = (x - 3) + 3 = x$.

Оба условия выполняются на заданных областях определения, следовательно, функции $f$ и $g$ являются взаимно обратными.

Ответ: Доказано.