Номер 7.7, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.7. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = \frac{1}{\sqrt{x}};$

2) $y = \sqrt{x^2-4}, D(y) = [2;+\infty).$

1)

Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Для того чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить переменную $x$ через $y$, а затем поменять переменные местами. Для этого сначала определим область определения и область значений исходной функции.

Область определения $D(y)$: выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля. Следовательно, $x > 0$, то есть $D(y) = (0; +\infty)$.

Область значений $E(y)$: поскольку $\sqrt{x} > 0$ для всех $x$ из области определения, то и $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ также будет всегда больше нуля. Таким образом, $E(y) = (0; +\infty)$.

Теперь выразим $x$ из уравнения $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Так как $y > 0$, мы можем выполнить следующие преобразования:

$\sqrt{x} = \frac{1}{y}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{1}{y}\right)^2$

$x = \frac{1}{y^2}$

Чтобы получить обратную функцию, поменяем местами $x$ и $y$:

$y = \frac{1}{x^2}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции. Следовательно, для обратной функции область определения есть $x \in (0; +\infty)$.

Ответ: $y = \frac{1}{x^2}$, где $x \in (0; +\infty)$.

2)

Дана функция $y = \sqrt{x^2 - 4}$ с областью определения $D(y) = [2; +\infty)$.

Для нахождения обратной функции необходимо выразить $x$ через $y$.

Сначала найдем область значений $E(y)$ исходной функции на заданной области определения. Поскольку функция $y(x)$ является возрастающей на промежутке $[2; +\infty)$, ее наименьшее значение достигается в точке $x=2$:

$y_{min} = y(2) = \sqrt{2^2 - 4} = \sqrt{0} = 0$.

При $x \to +\infty$, значение $y$ также стремится к $+\infty$.

Следовательно, область значений функции $E(y) = [0; +\infty)$.

Теперь выразим $x$ из уравнения $y = \sqrt{x^2 - 4}$.

Так как $y \geq 0$ (по определению арифметического квадратного корня), мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:

$y^2 = (\sqrt{x^2 - 4})^2$

$y^2 = x^2 - 4$

$x^2 = y^2 + 4$

$x = \pm\sqrt{y^2 + 4}$

Согласно исходной области определения, $x \in [2; +\infty)$, то есть $x \geq 2$. Это означает, что мы должны выбрать знак "плюс" перед корнем, так как $\sqrt{y^2 + 4}$ всегда положительно.

$x = \sqrt{y^2 + 4}$

Чтобы получить обратную функцию, поменяем местами $x$ и $y$:

$y = \sqrt{x^2 + 4}$

Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, то есть $D(y_{обр}) = E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: $y = \sqrt{x^2 + 4}$, где $x \in [0; +\infty)$.