Номер 7.12, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.12. Пусть $g$ — функция, обратная к функции $f(x) = x^3 + \sqrt{x} - 2$.

1) Найдите $g(28)$.

2) Решите уравнение $g(x) = 1$.

3) Существует ли такое значение $c$, что уравнение $g(x) = c$ имеет два корня?

1) Найдите g(28).
Пусть $g(28) = y$. По определению обратной функции, это равенство равносильно тому, что $f(y) = 28$.
Подставим $y$ в функцию $f(x)$:
$f(y) = y^3 + \sqrt{y - 2} = 28$.
Область определения функции $f(x)$ задается условием $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Следовательно, мы ищем корень $y \ge 2$.
Функция $f(x) = x^3 + \sqrt{x - 2}$ является суммой двух возрастающих функций ($y=x^3$ и $y=\sqrt{x-2}$) на области определения $[2, +\infty)$, а значит, сама является строго возрастающей. Поэтому уравнение $f(y) = 28$ может иметь не более одного корня.
Попробуем найти корень подбором среди целых чисел, начиная с $y=2$.
При $y=2$, $f(2) = 2^3 + \sqrt{2 - 2} = 8 + 0 = 8$.
При $y=3$, $f(3) = 3^3 + \sqrt{3 - 2} = 27 + \sqrt{1} = 28$.
Мы нашли корень $y = 3$. Так как он единственный, то $g(28) = 3$.
Ответ: 3.

2) Решите уравнение g(x) = 1.
Равенство $g(x) = 1$ по определению обратной функции равносильно равенству $x = f(1)$.
Найдем область определения функции $f(x) = x^3 + \sqrt{x - 2}$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.
Таким образом, область определения функции $f(x)$ — это промежуток $D(f) = [2, +\infty)$.
Область значений обратной функции $g(x)$ совпадает с областью определения исходной функции $f(x)$, то есть $E(g) = [2, +\infty)$.
В уравнении $g(x) = 1$ требуется, чтобы значение функции $g(x)$ было равно 1. Однако 1 не принадлежит области значений функции $g(x)$, так как $1 < 2$.
Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

3) Существует ли такое значение с, что уравнение g(x) = c имеет два корня?
Уравнение $g(x) = c$ будет иметь два корня, если функция $g(x)$ не является взаимно-однозначной (инъективной), то есть принимает одно и то же значение при двух разных значениях аргумента.
Однако, для существования обратной функции $g(x)$ необходимо, чтобы исходная функция $f(x)$ была строго монотонной на своей области определения.
Исследуем функцию $f(x) = x^3 + \sqrt{x - 2}$ на монотонность. Найдем ее производную:
$f'(x) = (x^3 + \sqrt{x - 2})' = 3x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$.
На области определения функции $x \in [2, +\infty)$, а для производной $x \in (2, +\infty)$.
На этом промежутке оба слагаемых положительны: $3x^2 > 0$ и $\frac{1}{2\sqrt{x-2}} > 0$.
Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x \in (2, +\infty)$, что означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[2, +\infty)$.
Если функция $f(x)$ строго монотонна, то и обратная ей функция $g(x)$ также будет строго монотонной. Строго монотонная функция каждое свое значение принимает только один раз. Поэтому уравнение $g(x) = c$ для любого $c$ из области значений $g(x)$ может иметь не более одного корня.
Таким образом, не существует такого значения $c$, при котором уравнение $g(x) = c$ имело бы два корня.
Ответ: не существует.