gdz.top
Номер 7.17, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 1. Повторение и расширение сведений о множествах, математической логике и функциях. Параграф 7. Обратная функция - номер 7.17, страница 67.
№7.16
№7.17 (с. 67)
Условие. №7.17 (с. 67)
7.17. Функция $f$ такова, что для всех $x \in R$ выполняется равенство $f(f(x))=x$. Докажите, что $f$ — обратимая функция.
Решение. №7.17 (с. 67)
Функция является обратимой, если для нее существует обратная функция. Функция $g$ называется обратной к функции $f$, если для всех $x$ из области определения $f$ и для всех $y$ из области значений $f$ выполняются два равенства: $g(f(x)) = x$ и $f(g(y)) = y$. В нашем случае функция $f$ определена на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$.
Чтобы доказать обратимость функции $f$, покажем, что у нее есть обратная функция. Рассмотрим в качестве кандидата на обратную функцию $g$ саму функцию $f$, то есть положим $g(x) = f(x)$. Проверим, выполняются ли для $g$ два условия из определения обратной функции.
Первое условие: $g(f(x)) = x$. Подставив $g(x) = f(x)$ в левую часть, получим $f(f(x))$. По условию задачи, $f(f(x)) = x$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, первое условие выполняется.
Второе условие: $f(g(y)) = y$. Подставив $g(y) = f(y)$ в левую часть, получим $f(f(y))$. Поскольку исходное равенство $f(f(x)) = x$ справедливо для любого действительного числа, оно будет справедливо и для любого $y \in \mathbb{R}$. Таким образом, $f(f(y)) = y$. Следовательно, второе условие также выполняется.
Так как для $g(x) = f(x)$ выполняются оба условия, определяющие обратную функцию, мы доказали, что функция $f$ имеет обратную функцию (которая совпадает с ней самой). Наличие обратной функции означает, что функция $f$ является обратимой.
Ответ: Функция $f$ является обратимой, так как для нее существует обратная функция, которая совпадает с самой функцией $f$. Это напрямую следует из данного в условии тождества $f(f(x)) = x$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 7.17 расположенного на странице 67 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7.17 (с. 67), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.