Номер 8.1, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.1. Решите неравенство:

1) $x(x - 3)(x + 2) < 0;$

2) $(x + 7)(x + 5)(x - 9) \leq 0;$

3) $(2x - 1)(3 - x)(x + 1) < 0;$

4) $(x - 6)(7x + 1)(2 - 9x) \geq 0.$

1) $x(x - 3)(x + 2) < 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем нули функции $f(x) = x(x - 3)(x + 2)$, то есть значения $x$, при которых выражение равно нулю.

$x(x - 3)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$

Отметим найденные точки $-2$, $0$ и $3$ на числовой прямой в порядке возрастания. Так как неравенство строгое ($< 0$), точки будут "выколотыми", то есть не будут входить в решение. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(3; +\infty)$, например, $x = 4$:

$4(4 - 3)(4 + 2) = 4 \cdot 1 \cdot 6 = 24$. Значение положительное ($> 0$).

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Таким образом, знаки на интервалах распределяются следующим образом (справа налево): `+`, `-`, `+`, `-`.

Нам нужно найти интервалы, где выражение меньше нуля ($< 0$). Это интервалы со знаком "минус": $(-\infty; -2)$ и $(0; 3)$.

Объединение этих интервалов является решением неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 3)$

2) $(x + 7)(x + 5)(x - 9) \leq 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули функции $f(x) = (x + 7)(x + 5)(x - 9)$.

$(x + 7)(x + 5)(x - 9) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x + 7 = 0 \Rightarrow x_1 = -7$

$x + 5 = 0 \Rightarrow x_2 = -5$

$x - 9 = 0 \Rightarrow x_3 = 9$

Отметим точки $-7$, $-5$ и $9$ на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\leq 0$), поэтому точки будут "закрашенными" и войдут в решение. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -7]$, $[-7; -5]$, $[-5; 9]$ и $[9; +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $[9; +\infty)$, взяв $x = 10$:

$(10 + 7)(10 + 5)(10 - 9) = 17 \cdot 15 \cdot 1 > 0$. Знак "плюс".

Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются. Знаки на интервалах (справа налево): `+`, `-`, `+`, `-`.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\leq 0$). Это интервалы со знаком "минус", включая их границы: $(-\infty; -7]$ и $[-5; 9]$.

Объединение этих интервалов является решением.

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [-5; 9]$

3) $(2x - 1)(3 - x)(x + 1) < 0$

Для удобства применения метода интервалов преобразуем неравенство так, чтобы коэффициенты при $x$ во всех множителях были положительными. В множителе $(3 - x)$ вынесем $-1$ за скобку:

$(2x - 1) \cdot (-1) \cdot (x - 3)(x + 1) < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$(2x - 1)(x - 3)(x + 1) > 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули выражения:

$2x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{2} = 0,5$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_3 = -1$

Отметим точки $-1$, $0,5$ и $3$ на числовой прямой. Неравенство строгое ($> 0$), поэтому точки "выколотые". Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0,5)$, $(0,5; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Так как все коэффициенты при $x$ теперь положительны, в крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ выражение будет иметь знак "плюс". Знаки в остальных интервалах чередуются: `+`, `-`, `+`, `-` (справа налево).

Нам нужно найти интервалы, где выражение $(2x - 1)(x - 3)(x + 1)$ больше нуля ($> 0$). Это интервалы со знаком "плюс": $(-1; 0,5)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; 0,5) \cup (3; +\infty)$

4) $(x - 6)(7x + 1)(2 - 9x) \geq 0$

Преобразуем неравенство, чтобы коэффициент при $x$ в каждом множителе был положительным. Вынесем $-1$ из множителя $(2 - 9x)$:

$(x - 6)(7x + 1) \cdot (-1) \cdot (9x - 2) \geq 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$(x - 6)(7x + 1)(9x - 2) \leq 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули выражения:

$x - 6 = 0 \Rightarrow x_1 = 6$

$7x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{7}$

$9x - 2 = 0 \Rightarrow x_3 = \frac{2}{9}$

Расположим точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-\frac{1}{7}$, $\frac{2}{9}$, $6$. Неравенство нестрогое ($\leq 0$), поэтому точки "закрашенные". Интервалы: $(-\infty; -\frac{1}{7}]$, $[-\frac{1}{7}; \frac{2}{9}]$, $[\frac{2}{9}; 6]$ и $[6; +\infty)$.

В крайнем правом интервале $[6; +\infty)$ выражение будет положительным. Знаки чередуются: `+`, `-`, `+`, `-` (справа налево).

Нам нужны интервалы, где выражение $(x - 6)(7x + 1)(9x - 2)$ меньше или равно нулю ($\leq 0$). Это интервалы со знаком "минус", включая границы: $(-\infty; -\frac{1}{7}]$ и $[\frac{2}{9}; 6]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{7}] \cup [\frac{2}{9}; 6]$