Номер 8.6, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.6. Найдите множество решений неравенства:

1) $(x^2 + 7x)(x^2 - 7x + 6) < 0;$

2) $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 36} \le 0;$

3) $\frac{3x^2 + 2x - 1}{4x^2 - x - 3} \ge 0.$

1) $(x^2 + 7x)(x^2 - 7x + 6) < 0$

Разложим на множители каждую из скобок. Для этого найдем корни соответствующих квадратных уравнений.
Первая скобка: $x^2 + 7x = x(x+7)$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -7$.
Вторая скобка: $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 6. Следовательно, корни $x_3 = 1$ и $x_4 = 6$. Тогда $x^2 - 7x + 6 = (x-1)(x-6)$.
Исходное неравенство принимает вид:
$x(x+7)(x-1)(x-6) < 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси нули функции (корни): -7, 0, 1, 6. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

Определим знаки на каждом интервале, подставляя любое значение из интервала в выражение:

• При $x > 6$ (например, $x=10$): $(+)(+)(+)(+) > 0$
• При $1 < x < 6$ (например, $x=2$): $(+)(+)(+)(-) < 0$
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $(+)(+)(-)(-) > 0$
• При $-7 < x < 0$ (например, $x=-1$): $(-)(+)(-)(-) < 0$
• При $x < -7$ (например, $x=-10$): $(-)(-)(-)(-) > 0$

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $x \in (-7; 0) \cup (1; 6)$.

2) $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 36} \le 0$

Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -12. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3)$.
Знаменатель: $x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$. Корни: $x_3 = 6$ и $x_4 = -6$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x-4)(x+3)}{(x-6)(x+6)} \le 0$
Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя (-3 и 4) будут закрашенными точками, так как неравенство нестрогое. Нули знаменателя (-6 и 6) будут выколотыми точками, так как на ноль делить нельзя.
Отметим на числовой оси точки в порядке возрастания: -6, -3, 4, 6.

Определим знаки на каждом интервале:

• При $x > 6$ (например, $x=10$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$
• При $4 \le x < 6$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$
• При $-3 \le x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$
• При $-6 < x \le -3$ (например, $x=-4$): $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$
• При $x < -6$ (например, $x=-10$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-6; -3] \cup [4; 6)$.

3) $\frac{3x^2 + 2x - 1}{4x^2 - x - 3} \ge 0$

Найдем корни числителя и знаменателя.
Числитель: $3x^2 + 2x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2+4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2-4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.
Знаменатель: $4x^2 - x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.
$x_3 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1+7}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
$x_4 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1-7}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители: $3x^2+2x-1 = 3(x-\frac{1}{3})(x+1) = (3x-1)(x+1)$ и $4x^2-x-3 = 4(x-1)(x+\frac{3}{4}) = (x-1)(4x+3)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(3x-1)(x+1)}{(x-1)(4x+3)} \ge 0$
Решим неравенство методом интервалов. Корни числителя (-1 и 1/3) — закрашенные точки. Корни знаменателя (-3/4 и 1) — выколотые точки.
Отметим на числовой оси точки в порядке возрастания: -1, -3/4, 1/3, 1.

Определим знаки на каждом интервале:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$
• При $\frac{1}{3} \le x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$
• При $-\frac{3}{4} < x \le \frac{1}{3}$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$
• При $-1 \le x < -\frac{3}{4}$ (например, $x=-0.8$): $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$
• При $x \le -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (-0.75; \frac{1}{3}] \cup (1; +\infty)$.