Номер 8.8, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.8. Решите неравенство:

1) $ (x^4 + 1)(5 - 6x)(x - 2) < 0; $

2) $ (3x^2 - 5x - 2)(2x^2 + x + 1) < 0. $

1) $(x^4 + 1)(5 - 6x)(x - 2) < 0$

Рассмотрим множитель $(x^4 + 1)$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^4 + 1 \ge 1$. Следовательно, выражение $x^4 + 1$ всегда положительно. Мы можем разделить обе части неравенства на это положительное выражение, не меняя знака неравенства:

$(5 - 6x)(x - 2) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(5 - 6x)(x - 2) = 0$.

$5 - 6x = 0 \implies 6x = 5 \implies x_1 = \frac{5}{6}$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Отметим эти корни на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; \frac{5}{6})$, $(\frac{5}{6}; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак выражения $(5 - 6x)(x - 2)$ в каждом интервале. Для удобства преобразуем выражение: $(5 - 6x)(x - 2) = -6(x - \frac{5}{6})(x - 2)$. Неравенство принимает вид $-6(x - \frac{5}{6})(x - 2) < 0$. Разделив на $-6$ и изменив знак неравенства на противоположный, получим: $(x - \frac{5}{6})(x - 2) > 0$.

График функции $y = (x - \frac{5}{6})(x - 2)$ — это парабола с ветвями вверх, которая принимает положительные значения вне своих корней. Таким образом, решением являются интервалы, где $x$ меньше меньшего корня или больше большего корня.

$x < \frac{5}{6}$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5}{6}) \cup (2; +\infty)$.

2) $(3x^2 - 5x - 2)(2x^2 + x + 1) < 0$

Рассмотрим множитель $(2x^2 + x + 1)$. Это квадратичный трехчлен. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$. Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 2 > 0$, то выражение $2x^2 + x + 1$ всегда положительно при любом значении $x$.

Поскольку множитель $(2x^2 + x + 1)$ всегда положителен, мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив знак:

$3x^2 - 5x - 2 < 0$

Теперь решим это квадратичное неравенство. Найдем корни уравнения $3x^2 - 5x - 2 = 0$. Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

График функции $y = 3x^2 - 5x - 2$ — это парабола с ветвями, направленными вверх (так как $a = 3 > 0$). Она принимает отрицательные значения между своими корнями. Следовательно, решение неравенства: $-\frac{1}{3} < x < 2$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; 2)$.