Номер 8.5, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1) Решим неравенство $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} > 0$.

Для решения воспользуемся методом интервалов. Сначала разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+3)} > 0$

Найдем нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых выражение меняет знак.

Нули числителя: $x-2=0 \Rightarrow x=2$; $x+2=0 \Rightarrow x=-2$.

Нули знаменателя: $x-3=0 \Rightarrow x=3$; $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.

Отметим эти точки на числовой оси. Поскольку неравенство строгое ($>$), все точки будут выколотыми, так как они не входят в решение. Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 3)$, $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале, подставив пробную точку:

• При $x = 4$ (интервал $(3; +\infty)$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак «+».
• При $x = 2.5$ (интервал $(2; 3)$): $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$. Знак «-».
• При $x = 0$ (интервал $(-2; 2)$): $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$. Знак «+».
• При $x = -2.5$ (интервал $(-3; -2)$): $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$. Знак «-».
• При $x = -4$ (интервал $(-\infty; -3)$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$. Знак «+».

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть те, где стоит знак «+».

Объединяем эти интервалы и получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; 2) \cup (3; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{x^2 - 3x}{x^2 - 8x + 7} \le 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2 - 3x = x(x-3)$.

Знаменатель: $x^2 - 8x + 7$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 7. Легко подобрать корни: $x_1=1$, $x_2=7$. Таким образом, $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{x(x-3)}{(x-1)(x-7)} \le 0$

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x=0$, $x=3$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эти точки включаются в решение (закрашенные точки).

Нули знаменателя: $x=1$, $x=7$. Эти точки всегда исключаются из решения, так как на ноль делить нельзя (выколотые точки).

Нанесем точки $0, 1, 3, 7$ на числовую ось и определим знаки выражения в полученных интервалах.

• При $x=8$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак «+».
• При $x=4$: $\frac{(+)(+)}{(+)(-)} < 0$. Знак «-».
• При $x=2$: $\frac{(+)(-)}{(+)(-)} > 0$. Знак «+».
• При $x=0.5$: $\frac{(+)(-)}{(-)(-)} < 0$. Знак «-».
• При $x=-1$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$. Знак «+».

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше или равно нулю, то есть те, где стоит знак «-», включая закрашенные точки.

Объединяем подходящие промежутки.

Ответ: $x \in [0; 1) \cup [3; 7)$.

3) Решим неравенство $\frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 3x - 4} \ge 0$.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $2x^2 - 5x + 2$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни: $x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Таким образом, $2x^2 - 5x + 2 = 2(x - \frac{1}{2})(x-2)$.

Знаменатель: $x^2 - 3x - 4$. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни: $x_1=4$, $x_2=-1$.

Таким образом, $x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{2(x - \frac{1}{2})(x-2)}{(x-4)(x+1)} \ge 0$

Нули числителя: $x=\frac{1}{2}$, $x=2$. Эти точки включаются в решение, так как неравенство нестрогое ($\ge$).

Нули знаменателя: $x=4$, $x=-1$. Эти точки исключаются из решения.

Нанесем точки $-1, \frac{1}{2}, 2, 4$ на числовую ось и определим знаки выражения в интервалах. Так как все множители в первой степени, знаки будут чередоваться.

Определим знак в крайнем правом интервале $(4; +\infty)$, взяв $x=5$: $\frac{2(5 - 0.5)(5-2)}{(5-4)(5+1)} = \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак «+».

Расставим знаки, чередуя их: $(-\infty; -1) \rightarrow$ «+»; $(-1; \frac{1}{2}) \rightarrow$ «-»; $(\frac{1}{2}; 2) \rightarrow$ «+»; $(2; 4) \rightarrow$ «-»; $(4; +\infty) \rightarrow$ «+».

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак «+»), включая закрашенные точки.

Объединяем полученные промежутки.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup [\frac{1}{2}; 2] \cup (4; +\infty)$.