Номер 8.3, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.3. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x-8}{x+7} < 0;$

2) $\frac{x+9}{x-11} > 0;$

3) $\frac{x+5,2}{x-1,4} \le 0;$

4) $\frac{5-x}{x-6} \ge 0;$

5) $\frac{(x+15)(x-2)}{x-15} \ge 0;$

6) $\frac{x-3,8}{(x+5)(x-16)} \le 0.$

1) $\frac{x-8}{x+7} < 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $x-8 = 0 \implies x = 8$.

Нуль знаменателя: $x+7 = 0 \implies x = -7$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<0$), обе точки будут выколотыми. Точки $-7$ и $8$ разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 8)$ и $(8; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом из интервалов:

• На интервале $(-\infty; -7)$ возьмем $x=-10$: $\frac{-10-8}{-10+7} = \frac{-18}{-3} = 6 > 0$. Знак (+).
• На интервале $(-7; 8)$ возьмем $x=0$: $\frac{0-8}{0+7} = -\frac{8}{7} < 0$. Знак (-).
• На интервале $(8; \infty)$ возьмем $x=10$: $\frac{10-8}{10+7} = \frac{2}{17} > 0$. Знак (+).

Нас интересует, где выражение меньше нуля, то есть интервал со знаком (-).

Ответ: $x \in (-7; 8)$.

2) $\frac{x+9}{x-11} > 0$

Решим неравенство методом интервалов.

Нуль числителя: $x+9 = 0 \implies x = -9$.

Нуль знаменателя: $x-11 = 0 \implies x = 11$.

Отметим точки $-9$ и $11$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое ($>0$). Получаем интервалы: $(-\infty; -9)$, $(-9; 11)$ и $(11; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом из интервалов:

• На интервале $(-\infty; -9)$ возьмем $x=-10$: $\frac{-10+9}{-10-11} = \frac{-1}{-21} > 0$. Знак (+).
• На интервале $(-9; 11)$ возьмем $x=0$: $\frac{0+9}{0-11} = -\frac{9}{11} < 0$. Знак (-).
• На интервале $(11; \infty)$ возьмем $x=12$: $\frac{12+9}{12-11} = 21 > 0$. Знак (+).

Нас интересует, где выражение больше нуля, то есть интервалы со знаком (+).

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (11; \infty)$.

3) $\frac{x+5,2}{x-1,4} \le 0$

Решим неравенство методом интервалов.

Нуль числителя: $x+5,2 = 0 \implies x = -5,2$.

Нуль знаменателя: $x-1,4 = 0 \implies x = 1,4$.

Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=-5,2$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\le 0$). Точка $x=1,4$ будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю. Получаем интервалы: $(-\infty; -5,2]$, $[-5,2; 1,4)$ и $(1,4; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом из интервалов:

• На интервале $(-\infty; -5,2]$ возьмем $x=-6$: $\frac{-6+5,2}{-6-1,4} = \frac{-0,8}{-7,4} > 0$. Знак (+).
• На интервале $[-5,2; 1,4)$ возьмем $x=0$: $\frac{0+5,2}{0-1,4} = -\frac{5,2}{1,4} < 0$. Знак (-).
• На интервале $(1,4; \infty)$ возьмем $x=2$: $\frac{2+5,2}{2-1,4} = \frac{7,2}{0,6} > 0$. Знак (+).

Нас интересует, где выражение меньше или равно нулю, то есть интервал со знаком (-), включая корень числителя.

Ответ: $x \in [-5,2; 1,4)$.

4) $\frac{5-x}{x-6} \ge 0$

Для удобства приведем неравенство к стандартному виду, умножив числитель на -1 и изменив знак неравенства:

$\frac{-(x-5)}{x-6} \ge 0 \implies \frac{x-5}{x-6} \le 0$.

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов.

Нуль числителя: $x-5 = 0 \implies x = 5$.

Нуль знаменателя: $x-6 = 0 \implies x = 6$.

Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=5$ закрашенная ($\le 0$), точка $x=6$ выколотая. Получаем интервалы: $(-\infty; 5]$, $[5; 6)$ и $(6; \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x-5}{x-6}$ на каждом из интервалов:

• На интервале $(-\infty; 5]$ возьмем $x=0$: $\frac{0-5}{0-6} > 0$. Знак (+).
• На интервале $[5; 6)$ возьмем $x=5,5$: $\frac{5,5-5}{5,5-6} = \frac{0,5}{-0,5} < 0$. Знак (-).
• На интервале $(6; \infty)$ возьмем $x=7$: $\frac{7-5}{7-6} = 2 > 0$. Знак (+).

Нас интересует, где выражение $\frac{x-5}{x-6}$ меньше или равно нулю, то есть интервал со знаком (-).

Ответ: $x \in [5; 6)$.

5) $\frac{(x+15)(x-2)}{x-15} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов.

Нули числителя: $(x+15)(x-2) = 0 \implies x = -15$ или $x = 2$.

Нуль знаменателя: $x-15 = 0 \implies x = 15$.

Отметим точки на числовой прямой. Точки $x=-15$ и $x=2$ закрашенные ($\ge 0$), точка $x=15$ выколотая. Получаем интервалы: $(-\infty; -15]$, $[-15; 2]$, $[2; 15)$ и $(15; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом из интервалов:

• На интервале $(-\infty; -15]$ возьмем $x=-20$: $\frac{(-20+15)(-20-2)}{-20-15} = \frac{(-5)(-22)}{-35} < 0$. Знак (-).
• На интервале $[-15; 2]$ возьмем $x=0$: $\frac{(0+15)(0-2)}{0-15} = \frac{15 \cdot (-2)}{-15} > 0$. Знак (+).
• На интервале $[2; 15)$ возьмем $x=10$: $\frac{(10+15)(10-2)}{10-15} = \frac{25 \cdot 8}{-5} < 0$. Знак (-).
• На интервале $(15; \infty)$ возьмем $x=20$: $\frac{(20+15)(20-2)}{20-15} = \frac{35 \cdot 18}{5} > 0$. Знак (+).

Нас интересует, где выражение больше или равно нулю, то есть интервалы со знаком (+).

Ответ: $x \in [-15; 2] \cup (15; \infty)$.

6) $\frac{x-3,8}{(x+5)(x-16)} \le 0$

Решим неравенство методом интервалов.

Нуль числителя: $x-3,8 = 0 \implies x = 3,8$.

Нули знаменателя: $(x+5)(x-16) = 0 \implies x = -5$ или $x = 16$.

Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=3,8$ закрашенная ($\le 0$), точки $x=-5$ и $x=16$ выколотые. Получаем интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; 3,8]$, $[3,8; 16)$ и $(16; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом из интервалов:

• На интервале $(-\infty; -5)$ возьмем $x=-10$: $\frac{-10-3,8}{(-10+5)(-10-16)} = \frac{-}{(-)(-) } = \frac{-}{+} < 0$. Знак (-).
• На интервале $(-5; 3,8]$ возьмем $x=0$: $\frac{0-3,8}{(0+5)(0-16)} = \frac{-}{(+)(-)} = \frac{-}{-} > 0$. Знак (+).
• На интервале $[3,8; 16)$ возьмем $x=10$: $\frac{10-3,8}{(10+5)(10-16)} = \frac{+}{(+)(-)} = \frac{+}{-} < 0$. Знак (-).
• На интервале $(16; \infty)$ возьмем $x=20$: $\frac{20-3,8}{(20+5)(20-16)} = \frac{+}{(+)(+)} > 0$. Знак (+).

Нас интересует, где выражение меньше или равно нулю, то есть интервалы со знаком (-).

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup [3,8; 16)$.