Страница 71 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Всегда ли нули функции разбивают её область определения на промежутки знакопостоянства?

2. Каким свойством обладает функция, непрерывная на промежутке и не имеющая на нём нулей?

3. Опишите, как решать неравенства методом интервалов.

1.

Нет, не всегда. Нули функции разбивают её область определения на промежутки знакопостоянства только в том случае, если функция непрерывна на всей своей области определения. Если же функция имеет точки разрыва, то она может менять знак и в этих точках, не обращаясь в ноль.

Например, рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{x}$. Её область определения — это все действительные числа, кроме нуля: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта функция не имеет нулей. Однако в точке $x=0$ она имеет разрыв. При $x < 0$ значения функции отрицательны ($f(x) < 0$), а при $x > 0$ — положительны ($f(x) > 0$). Таким образом, знак функции меняется в точке разрыва, а не в нуле функции.

Следовательно, промежутки знакопостоянства функции определяются как её нулями, так и точками разрыва (точками, в которых функция не определена).

Ответ: Нет, не всегда. Кроме нулей функции, её область определения на промежутки знакопостоянства могут разбивать и точки разрыва.

2.

Если функция непрерывна на некотором промежутке и не имеет на нём нулей, то она сохраняет на этом промежутке постоянный знак. То есть она является либо строго положительной (принимает только положительные значения), либо строго отрицательной (принимает только отрицательные значения) на всём промежутке.

Это свойство является следствием теоремы о промежуточном значении (теоремы Больцано-Коши). Если бы функция на этом промежутке принимала значения разных знаков (например, в точке $x_1$ значение было бы положительным, а в точке $x_2$ — отрицательным), то из-за своей непрерывности она должна была бы пересечь ось абсцисс, то есть обратиться в ноль в какой-то точке между $x_1$ и $x_2$. Но это противоречит условию, что у функции нет нулей на данном промежутке.

Ответ: Такая функция сохраняет постоянный знак на всём промежутке (является знакопостоянной).

3.

Метод интервалов — это алгоритм для решения сложных неравенств, как правило, вида $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$. Алгоритм состоит из следующих шагов:

1) Привести неравенство к стандартному виду, перенеся все его члены в одну часть, чтобы с другой стороны остался ноль. Например, $f(x) > 0$.

2) Найти область определения функции $f(x)$. Это все значения $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл.

3) Найти "критические" точки — это нули функции и точки её разрыва. Для этого нужно решить уравнение $f(x) = 0$ (чтобы найти нули) и найти точки, в которых функция не определена (например, нули знаменателя для рациональной функции).

4) Нанести найденные критические точки на числовую ось. Эти точки разобьют ось (а точнее, область определения функции) на несколько интервалов.

5) Определить знак функции $f(x)$ в каждом из полученных интервалов. Для этого достаточно взять любую "пробную" точку из каждого интервала, подставить её в функцию $f(x)$ и определить знак результата (+ или –). В силу свойства, описанного в пункте 2, знак будет одинаковым для всех точек внутри одного интервала.

6) Выбрать те интервалы, знаки в которых соответствуют знаку исходного неравенства. Например, для неравенства $f(x) > 0$ нужно выбрать интервалы со знаком "+".

7) Записать ответ. При этом нужно обратить внимание на тип неравенства. Если неравенство строгое ($>$ или $<$), то граничные точки (нули функции) не включаются в решение. Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), то нули функции включаются в решение (если они входят в область определения). Точки, в которых функция не определена (точки разрыва), никогда не включаются в решение.

Ответ: Метод интервалов заключается в том, чтобы найти нули и точки разрыва функции, стоящей в левой части неравенства, отметить эти точки на числовой оси, определить знаки функции на получившихся интервалах и выбрать те из них, которые удовлетворяют знаку неравенства.

8.1. Решите неравенство:

1) $x(x - 3)(x + 2) < 0;$

2) $(x + 7)(x + 5)(x - 9) \leq 0;$

3) $(2x - 1)(3 - x)(x + 1) < 0;$

4) $(x - 6)(7x + 1)(2 - 9x) \geq 0.$

1) $x(x - 3)(x + 2) < 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем нули функции $f(x) = x(x - 3)(x + 2)$, то есть значения $x$, при которых выражение равно нулю.

$x(x - 3)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$

Отметим найденные точки $-2$, $0$ и $3$ на числовой прямой в порядке возрастания. Так как неравенство строгое ($< 0$), точки будут "выколотыми", то есть не будут входить в решение. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(3; +\infty)$, например, $x = 4$:

$4(4 - 3)(4 + 2) = 4 \cdot 1 \cdot 6 = 24$. Значение положительное ($> 0$).

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Таким образом, знаки на интервалах распределяются следующим образом (справа налево): `+`, `-`, `+`, `-`.

Нам нужно найти интервалы, где выражение меньше нуля ($< 0$). Это интервалы со знаком "минус": $(-\infty; -2)$ и $(0; 3)$.

Объединение этих интервалов является решением неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 3)$

2) $(x + 7)(x + 5)(x - 9) \leq 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули функции $f(x) = (x + 7)(x + 5)(x - 9)$.

$(x + 7)(x + 5)(x - 9) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x + 7 = 0 \Rightarrow x_1 = -7$

$x + 5 = 0 \Rightarrow x_2 = -5$

$x - 9 = 0 \Rightarrow x_3 = 9$

Отметим точки $-7$, $-5$ и $9$ на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\leq 0$), поэтому точки будут "закрашенными" и войдут в решение. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -7]$, $[-7; -5]$, $[-5; 9]$ и $[9; +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $[9; +\infty)$, взяв $x = 10$:

$(10 + 7)(10 + 5)(10 - 9) = 17 \cdot 15 \cdot 1 > 0$. Знак "плюс".

Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются. Знаки на интервалах (справа налево): `+`, `-`, `+`, `-`.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\leq 0$). Это интервалы со знаком "минус", включая их границы: $(-\infty; -7]$ и $[-5; 9]$.

Объединение этих интервалов является решением.

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [-5; 9]$

3) $(2x - 1)(3 - x)(x + 1) < 0$

Для удобства применения метода интервалов преобразуем неравенство так, чтобы коэффициенты при $x$ во всех множителях были положительными. В множителе $(3 - x)$ вынесем $-1$ за скобку:

$(2x - 1) \cdot (-1) \cdot (x - 3)(x + 1) < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$(2x - 1)(x - 3)(x + 1) > 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули выражения:

$2x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{2} = 0,5$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_3 = -1$

Отметим точки $-1$, $0,5$ и $3$ на числовой прямой. Неравенство строгое ($> 0$), поэтому точки "выколотые". Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0,5)$, $(0,5; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Так как все коэффициенты при $x$ теперь положительны, в крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ выражение будет иметь знак "плюс". Знаки в остальных интервалах чередуются: `+`, `-`, `+`, `-` (справа налево).

Нам нужно найти интервалы, где выражение $(2x - 1)(x - 3)(x + 1)$ больше нуля ($> 0$). Это интервалы со знаком "плюс": $(-1; 0,5)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; 0,5) \cup (3; +\infty)$

4) $(x - 6)(7x + 1)(2 - 9x) \geq 0$

Преобразуем неравенство, чтобы коэффициент при $x$ в каждом множителе был положительным. Вынесем $-1$ из множителя $(2 - 9x)$:

$(x - 6)(7x + 1) \cdot (-1) \cdot (9x - 2) \geq 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$(x - 6)(7x + 1)(9x - 2) \leq 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули выражения:

$x - 6 = 0 \Rightarrow x_1 = 6$

$7x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{7}$

$9x - 2 = 0 \Rightarrow x_3 = \frac{2}{9}$

Расположим точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-\frac{1}{7}$, $\frac{2}{9}$, $6$. Неравенство нестрогое ($\leq 0$), поэтому точки "закрашенные". Интервалы: $(-\infty; -\frac{1}{7}]$, $[-\frac{1}{7}; \frac{2}{9}]$, $[\frac{2}{9}; 6]$ и $[6; +\infty)$.

В крайнем правом интервале $[6; +\infty)$ выражение будет положительным. Знаки чередуются: `+`, `-`, `+`, `-` (справа налево).

Нам нужны интервалы, где выражение $(x - 6)(7x + 1)(9x - 2)$ меньше или равно нулю ($\leq 0$). Это интервалы со знаком "минус", включая границы: $(-\infty; -\frac{1}{7}]$ и $[\frac{2}{9}; 6]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{7}] \cup [\frac{2}{9}; 6]$

8.2. Решите неравенство:

1) $(x+3)(x-1)(x+4) < 0;$

2) $(x-7)(x+8)(x-12) \geq 0;$

3) $(1-3x)(x+2)(3-x) < 0;$

4) $x(5-x)(6-x) \leq 0.$

Для решения данных неравенств используется метод интервалов.

1) $(x+3)(x-1)(x+4) < 0$

1. Найдём корни выражения, приравняв его к нулю:
$(x+3)(x-1)(x+4) = 0$
Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 1$, $x_3 = -4$.

2. Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -4, -3, 1. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; -3)$, $(-3; 1)$, $(1; +\infty)$.

3. Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмём пробную точку из крайнего правого интервала $(1; +\infty)$, например, $x=2$:
$(2+3)(2-1)(2+4) = 5 \cdot 1 \cdot 6 = 30 > 0$. Знак "+".
Так как все корни имеют нечётную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться:

 - + - +----o---------o---------o----> -4 -3 1 x

4. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это интервалы $(-\infty; -4)$ и $(-3; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; 1)$.

2) $(x-7)(x+8)(x-12) \ge 0$

1. Найдём корни выражения:
$(x-7)(x+8)(x-12) = 0$
Корни: $x_1 = 7$, $x_2 = -8$, $x_3 = 12$.

2. Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -8, 7, 12. Так как неравенство нестрогое, точки будут закрашенными. Они разбивают прямую на четыре интервала.

3. Определим знаки в интервалах. Возьмём пробную точку из $(12; +\infty)$, например, $x=13$:
$(13-7)(13+8)(13-12) = 6 \cdot 21 \cdot 1 > 0$. Знак "+".
Знаки чередуются:

 - + - +----•---------•---------•----> -8 7 12 x

4. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это интервалы $[-8; 7]$ и $[12; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-8; 7] \cup [12; +\infty)$.

3) $(1-3x)(x+2)(3-x) < 0$

1. Преобразуем неравенство, чтобы коэффициенты при $x$ были положительными. Для этого вынесем "-1" из скобок $(1-3x)$ и $(3-x)$:
$-(3x-1)(x+2)(-(x-3)) < 0$
$(-1)(-1)(3x-1)(x+2)(x-3) < 0$
$(3x-1)(x+2)(x-3) < 0$

2. Найдём корни выражения:
$(3x-1)(x+2)(x-3) = 0$
Корни: $x_1 = 1/3$, $x_2 = -2$, $x_3 = 3$.

3. Отметим корни на числовой прямой: -2, 1/3, 3. Точки выколотые.

4. Определим знаки. Возьмём пробную точку из $(3; +\infty)$, например, $x=4$:
$(3 \cdot 4 - 1)(4+2)(4-3) = 11 \cdot 6 \cdot 1 > 0$. Знак "+".
Знаки чередуются:

 - + - +----o---------o---------o----> -2 1/3 3 x

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это интервалы $(-\infty; -2)$ и $(1/3; 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1/3; 3)$.

4) $x(5-x)(6-x) \le 0$

1. Преобразуем неравенство, вынеся "-1" из скобок $(5-x)$ и $(6-x)$:
$x(-(x-5))(-(x-6)) \le 0$
$x(x-5)(x-6) \le 0$

2. Найдём корни выражения:
$x(x-5)(x-6) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$, $x_3 = 6$.

3. Отметим корни на числовой прямой: 0, 5, 6. Так как неравенство нестрогое, точки закрашенные.

4. Определим знаки. Возьмём пробную точку из $(6; +\infty)$, например, $x=7$:
$7(7-5)(7-6) = 7 \cdot 2 \cdot 1 > 0$. Знак "+".
Знаки чередуются:

 - + - +----•---------•---------•----> 0 5 6 x

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак "-"). Это интервалы $(-\infty; 0]$ и $[5; 6]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [5; 6]$.

8.3. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x-8}{x+7} < 0;$

2) $\frac{x+9}{x-11} > 0;$

3) $\frac{x+5,2}{x-1,4} \le 0;$

4) $\frac{5-x}{x-6} \ge 0;$

5) $\frac{(x+15)(x-2)}{x-15} \ge 0;$

6) $\frac{x-3,8}{(x+5)(x-16)} \le 0.$

1) $\frac{x-8}{x+7} < 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $x-8 = 0 \implies x = 8$.

Нуль знаменателя: $x+7 = 0 \implies x = -7$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<0$), обе точки будут выколотыми. Точки $-7$ и $8$ разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 8)$ и $(8; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом из интервалов:

• На интервале $(-\infty; -7)$ возьмем $x=-10$: $\frac{-10-8}{-10+7} = \frac{-18}{-3} = 6 > 0$. Знак (+).
• На интервале $(-7; 8)$ возьмем $x=0$: $\frac{0-8}{0+7} = -\frac{8}{7} < 0$. Знак (-).
• На интервале $(8; \infty)$ возьмем $x=10$: $\frac{10-8}{10+7} = \frac{2}{17} > 0$. Знак (+).

Нас интересует, где выражение меньше нуля, то есть интервал со знаком (-).

Ответ: $x \in (-7; 8)$.

2) $\frac{x+9}{x-11} > 0$

Решим неравенство методом интервалов.

Нуль числителя: $x+9 = 0 \implies x = -9$.

Нуль знаменателя: $x-11 = 0 \implies x = 11$.

Отметим точки $-9$ и $11$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое ($>0$). Получаем интервалы: $(-\infty; -9)$, $(-9; 11)$ и $(11; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом из интервалов:

• На интервале $(-\infty; -9)$ возьмем $x=-10$: $\frac{-10+9}{-10-11} = \frac{-1}{-21} > 0$. Знак (+).
• На интервале $(-9; 11)$ возьмем $x=0$: $\frac{0+9}{0-11} = -\frac{9}{11} < 0$. Знак (-).
• На интервале $(11; \infty)$ возьмем $x=12$: $\frac{12+9}{12-11} = 21 > 0$. Знак (+).

Нас интересует, где выражение больше нуля, то есть интервалы со знаком (+).

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (11; \infty)$.

3) $\frac{x+5,2}{x-1,4} \le 0$

Решим неравенство методом интервалов.

Нуль числителя: $x+5,2 = 0 \implies x = -5,2$.

Нуль знаменателя: $x-1,4 = 0 \implies x = 1,4$.

Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=-5,2$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\le 0$). Точка $x=1,4$ будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю. Получаем интервалы: $(-\infty; -5,2]$, $[-5,2; 1,4)$ и $(1,4; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом из интервалов:

• На интервале $(-\infty; -5,2]$ возьмем $x=-6$: $\frac{-6+5,2}{-6-1,4} = \frac{-0,8}{-7,4} > 0$. Знак (+).
• На интервале $[-5,2; 1,4)$ возьмем $x=0$: $\frac{0+5,2}{0-1,4} = -\frac{5,2}{1,4} < 0$. Знак (-).
• На интервале $(1,4; \infty)$ возьмем $x=2$: $\frac{2+5,2}{2-1,4} = \frac{7,2}{0,6} > 0$. Знак (+).

Нас интересует, где выражение меньше или равно нулю, то есть интервал со знаком (-), включая корень числителя.

Ответ: $x \in [-5,2; 1,4)$.

4) $\frac{5-x}{x-6} \ge 0$

Для удобства приведем неравенство к стандартному виду, умножив числитель на -1 и изменив знак неравенства:

$\frac{-(x-5)}{x-6} \ge 0 \implies \frac{x-5}{x-6} \le 0$.

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов.

Нуль числителя: $x-5 = 0 \implies x = 5$.

Нуль знаменателя: $x-6 = 0 \implies x = 6$.

Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=5$ закрашенная ($\le 0$), точка $x=6$ выколотая. Получаем интервалы: $(-\infty; 5]$, $[5; 6)$ и $(6; \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x-5}{x-6}$ на каждом из интервалов:

• На интервале $(-\infty; 5]$ возьмем $x=0$: $\frac{0-5}{0-6} > 0$. Знак (+).
• На интервале $[5; 6)$ возьмем $x=5,5$: $\frac{5,5-5}{5,5-6} = \frac{0,5}{-0,5} < 0$. Знак (-).
• На интервале $(6; \infty)$ возьмем $x=7$: $\frac{7-5}{7-6} = 2 > 0$. Знак (+).

Нас интересует, где выражение $\frac{x-5}{x-6}$ меньше или равно нулю, то есть интервал со знаком (-).

Ответ: $x \in [5; 6)$.

5) $\frac{(x+15)(x-2)}{x-15} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов.

Нули числителя: $(x+15)(x-2) = 0 \implies x = -15$ или $x = 2$.

Нуль знаменателя: $x-15 = 0 \implies x = 15$.

Отметим точки на числовой прямой. Точки $x=-15$ и $x=2$ закрашенные ($\ge 0$), точка $x=15$ выколотая. Получаем интервалы: $(-\infty; -15]$, $[-15; 2]$, $[2; 15)$ и $(15; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом из интервалов:

• На интервале $(-\infty; -15]$ возьмем $x=-20$: $\frac{(-20+15)(-20-2)}{-20-15} = \frac{(-5)(-22)}{-35} < 0$. Знак (-).
• На интервале $[-15; 2]$ возьмем $x=0$: $\frac{(0+15)(0-2)}{0-15} = \frac{15 \cdot (-2)}{-15} > 0$. Знак (+).
• На интервале $[2; 15)$ возьмем $x=10$: $\frac{(10+15)(10-2)}{10-15} = \frac{25 \cdot 8}{-5} < 0$. Знак (-).
• На интервале $(15; \infty)$ возьмем $x=20$: $\frac{(20+15)(20-2)}{20-15} = \frac{35 \cdot 18}{5} > 0$. Знак (+).

Нас интересует, где выражение больше или равно нулю, то есть интервалы со знаком (+).

Ответ: $x \in [-15; 2] \cup (15; \infty)$.

6) $\frac{x-3,8}{(x+5)(x-16)} \le 0$

Решим неравенство методом интервалов.

Нуль числителя: $x-3,8 = 0 \implies x = 3,8$.

Нули знаменателя: $(x+5)(x-16) = 0 \implies x = -5$ или $x = 16$.

Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=3,8$ закрашенная ($\le 0$), точки $x=-5$ и $x=16$ выколотые. Получаем интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; 3,8]$, $[3,8; 16)$ и $(16; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом из интервалов:

• На интервале $(-\infty; -5)$ возьмем $x=-10$: $\frac{-10-3,8}{(-10+5)(-10-16)} = \frac{-}{(-)(-) } = \frac{-}{+} < 0$. Знак (-).
• На интервале $(-5; 3,8]$ возьмем $x=0$: $\frac{0-3,8}{(0+5)(0-16)} = \frac{-}{(+)(-)} = \frac{-}{-} > 0$. Знак (+).
• На интервале $[3,8; 16)$ возьмем $x=10$: $\frac{10-3,8}{(10+5)(10-16)} = \frac{+}{(+)(-)} = \frac{+}{-} < 0$. Знак (-).
• На интервале $(16; \infty)$ возьмем $x=20$: $\frac{20-3,8}{(20+5)(20-16)} = \frac{+}{(+)(+)} > 0$. Знак (+).

Нас интересует, где выражение меньше или равно нулю, то есть интервалы со знаком (-).

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup [3,8; 16)$.

8.4. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x+3}{x-1} > 0;$

2) $\frac{x-4}{x} \ge 0;$

3) $\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0;$

4) $\frac{(x+1,2)(x-1,6)}{x-1,4} \le 0;$

5) $\frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)} > 0;$

6) $\frac{(x+1)(3-x)}{(3x-2)(4-3x)} \ge 0.$

1) Решим неравенство $\frac{x+3}{x-1} > 0$ методом интервалов.

Сначала найдём точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль (нули функции).

Нуль числителя: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$.

Нуль знаменателя: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Отметим точки $-3$ и $1$ на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое ($>$), обе точки будут "выколотыми" (не будут входить в решение). Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$ и $(1; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом интервале, подставив в него любое значение из этого интервала:

Для интервала $(-\infty; -3)$ возьмём $x = -4$: $\frac{-4+3}{-4-1} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} > 0$. Знак "+".

Для интервала $(-3; 1)$ возьмём $x = 0$: $\frac{0+3}{0-1} = -3 < 0$. Знак "-".

Для интервала $(1; \infty)$ возьмём $x = 2$: $\frac{2+3}{2-1} = 5 > 0$. Знак "+".

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (имеет знак "+").

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; \infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{x-4}{x} \geq 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$. Поскольку неравенство нестрогое ($\geq$), эта точка входит в решение.

Нуль знаменателя: $x = 0$. Эта точка не входит в область допустимых значений, поэтому она всегда "выколотая".

Отметим точки $0$ и $4$ на числовой прямой. Точка $0$ выколота, точка $4$ закрашена. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 4]$ и $[4; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом интервале:

Для интервала $(-\infty; 0)$ возьмём $x = -1$: $\frac{-1-4}{-1} = 5 > 0$. Знак "+".

Для интервала $(0; 4]$ возьмём $x = 1$: $\frac{1-4}{1} = -3 < 0$. Знак "-".

Для интервала $[4; \infty)$ возьмём $x = 5$: $\frac{5-4}{5} = \frac{1}{5} > 0$. Знак "+".

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "+" и точка, где числитель равен нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [4; \infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $(x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 2$ или $x = -1$.

Нуль знаменателя: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

Отметим точки $-1$, $2$ и $4$ на числовой прямой. Неравенство строгое ($<$), поэтому все точки выколотые. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом интервале:

Для интервала $(-\infty; -1)$ возьмём $x = -2$: $\frac{(-2-2)(-2+1)}{-2-4} = \frac{(-4)(-1)}{-6} < 0$. Знак "-".

Для интервала $(-1; 2)$ возьмём $x = 0$: $\frac{(0-2)(0+1)}{0-4} = \frac{-2}{-4} > 0$. Знак "+".

Для интервала $(2; 4)$ возьмём $x = 3$: $\frac{(3-2)(3+1)}{3-4} = \frac{1 \cdot 4}{-1} < 0$. Знак "-".

Для интервала $(4; \infty)$ возьмём $x = 5$: $\frac{(5-2)(5+1)}{5-4} = \frac{3 \cdot 6}{1} > 0$. Знак "+".

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (имеет знак "-").

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; 4)$.

4) Решим неравенство $\frac{(x+1,2)(x-1,6)}{x-1,4} \leq 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $(x+1,2)(x-1,6) = 0 \Rightarrow x = -1,2$ или $x = 1,6$. Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому эти точки входят в решение.

Нуль знаменателя: $x - 1,4 = 0 \Rightarrow x = 1,4$. Эта точка выколотая.

Отметим точки $-1,2$, $1,4$ и $1,6$ на числовой прямой в порядке возрастания. Точки $-1,2$ и $1,6$ закрашенные, точка $1,4$ выколотая. Получаем интервалы: $(-\infty; -1,2]$, $[-1,2; 1,4)$, $(1,4; 1,6]$ и $[1,6; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом интервале:

Для интервала $(-\infty; -1,2]$ возьмём $x = -2$: $\frac{(-2+1,2)(-2-1,6)}{-2-1,4} = \frac{(-0,8)(-3,6)}{-3,4} < 0$. Знак "-".

Для интервала $[-1,2; 1,4)$ возьмём $x = 0$: $\frac{(0+1,2)(0-1,6)}{0-1,4} = \frac{1,2 \cdot (-1,6)}{-1,4} > 0$. Знак "+".

Для интервала $(1,4; 1,6]$ возьмём $x = 1,5$: $\frac{(1,5+1,2)(1,5-1,6)}{1,5-1,4} = \frac{2,7 \cdot (-0,1)}{0,1} < 0$. Знак "-".

Для интервала $[1,6; \infty)$ возьмём $x = 2$: $\frac{(2+1,2)(2-1,6)}{2-1,4} = \frac{3,2 \cdot 0,4}{0,6} > 0$. Знак "+".

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,2] \cup (1,4; 1,6]$.

5) Решим неравенство $\frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)} > 0$.

Преобразуем множитель $(4-x)$ к виду $(x-k)$, вынеся $-1$ за скобку: $4-x = -(x-4)$.

Неравенство примет вид: $\frac{(3x-2)(-(x-4))}{(x+3)(x-1)} > 0$.

Домножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный: $\frac{(3x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)} < 0$.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $(3x-2)(x-4)=0 \Rightarrow x=2/3$ или $x=4$.

Нули знаменателя: $(x+3)(x-1)=0 \Rightarrow x=-3$ или $x=1$.

Отметим точки $-3, 2/3, 1, 4$ на числовой прямой. Все точки выколотые. Они разбивают прямую на пять интервалов.

Определим знаки выражения $\frac{(3x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)}$ в интервалах:

Для $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} = \frac{+}{+} > 0$.

Для $x \in (-3; 2/3)$, например $x=0$: $\frac{(-)(-)}{(+)(-)} = \frac{+}{-} < 0$.

Для $x \in (2/3; 1)$, например $x=0,8$: $\frac{(+)(-)}{(+)(-)} = \frac{-}{-} > 0$.

Для $x \in (1; 4)$, например $x=2$: $\frac{(+)(-)}{(+)(+)} = \frac{-}{+} < 0$.

Для $x \in (4; \infty)$, например $x=5$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} = \frac{+}{+} > 0$.

Нам нужно найти решение неравенства $\frac{(3x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)} < 0$, то есть выбрать интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-3; 2/3) \cup (1; 4)$.

6) Решим неравенство $\frac{(x+1)(3-x)}{(3x-2)(4-3x)} \geq 0$.

Преобразуем множители $(3-x)$ и $(4-3x)$, вынеся $-1$ за скобки: $3-x = -(x-3)$ и $4-3x = -(3x-4)$.

Неравенство примет вид: $\frac{(x+1)(-(x-3))}{(3x-2)(-(3x-4))} \geq 0$.

Минусы в числителе и знаменателе сокращаются: $\frac{(x+1)(x-3)}{(3x-2)(3x-4)} \geq 0$.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $(x+1)(x-3)=0 \Rightarrow x=-1$ или $x=3$. Точки закрашенные.

Нули знаменателя: $(3x-2)(3x-4)=0 \Rightarrow x=2/3$ или $x=4/3$. Точки выколотые.

Отметим точки $-1, 2/3, 4/3, 3$ на числовой прямой в порядке возрастания. Точки $-1$ и $3$ закрашенные, $2/3$ и $4/3$ выколотые.

Определим знаки выражения $\frac{(x+1)(x-3)}{(3x-2)(3x-4)}$ в интервалах:

Для $x \in (-\infty; -1]$, например $x=-2$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} = \frac{+}{+} > 0$.

Для $x \in [-1; 2/3)$, например $x=0$: $\frac{(+)(-)}{(-)(-)} = \frac{-}{+} < 0$.

Для $x \in (2/3; 4/3)$, например $x=1$: $\frac{(+)(-)}{(+)(-)} = \frac{-}{-} > 0$.

Для $x \in (4/3; 3]$, например $x=2$: $\frac{(+)(-)}{(+)(+)} = \frac{-}{+} < 0$.

Для $x \in [3; \infty)$, например $x=4$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} = \frac{+}{+} > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (2/3; 4/3) \cup [3; \infty)$.

8.5. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} > 0;$

2) $\frac{x^2 - 3x}{x^2 - 8x + 7} \le 0;$

3) $\frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 3x - 4} \ge 0.$