Страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.12. Пусть $g$ — функция, обратная к функции $f(x) = x^3 + \sqrt{x} - 2$.

1) Найдите $g(28)$.

2) Решите уравнение $g(x) = 1$.

3) Существует ли такое значение $c$, что уравнение $g(x) = c$ имеет два корня?

1) Найдите g(28).
Пусть $g(28) = y$. По определению обратной функции, это равенство равносильно тому, что $f(y) = 28$.
Подставим $y$ в функцию $f(x)$:
$f(y) = y^3 + \sqrt{y - 2} = 28$.
Область определения функции $f(x)$ задается условием $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Следовательно, мы ищем корень $y \ge 2$.
Функция $f(x) = x^3 + \sqrt{x - 2}$ является суммой двух возрастающих функций ($y=x^3$ и $y=\sqrt{x-2}$) на области определения $[2, +\infty)$, а значит, сама является строго возрастающей. Поэтому уравнение $f(y) = 28$ может иметь не более одного корня.
Попробуем найти корень подбором среди целых чисел, начиная с $y=2$.
При $y=2$, $f(2) = 2^3 + \sqrt{2 - 2} = 8 + 0 = 8$.
При $y=3$, $f(3) = 3^3 + \sqrt{3 - 2} = 27 + \sqrt{1} = 28$.
Мы нашли корень $y = 3$. Так как он единственный, то $g(28) = 3$.
Ответ: 3.

2) Решите уравнение g(x) = 1.
Равенство $g(x) = 1$ по определению обратной функции равносильно равенству $x = f(1)$.
Найдем область определения функции $f(x) = x^3 + \sqrt{x - 2}$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.
Таким образом, область определения функции $f(x)$ — это промежуток $D(f) = [2, +\infty)$.
Область значений обратной функции $g(x)$ совпадает с областью определения исходной функции $f(x)$, то есть $E(g) = [2, +\infty)$.
В уравнении $g(x) = 1$ требуется, чтобы значение функции $g(x)$ было равно 1. Однако 1 не принадлежит области значений функции $g(x)$, так как $1 < 2$.
Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

3) Существует ли такое значение с, что уравнение g(x) = c имеет два корня?
Уравнение $g(x) = c$ будет иметь два корня, если функция $g(x)$ не является взаимно-однозначной (инъективной), то есть принимает одно и то же значение при двух разных значениях аргумента.
Однако, для существования обратной функции $g(x)$ необходимо, чтобы исходная функция $f(x)$ была строго монотонной на своей области определения.
Исследуем функцию $f(x) = x^3 + \sqrt{x - 2}$ на монотонность. Найдем ее производную:
$f'(x) = (x^3 + \sqrt{x - 2})' = 3x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$.
На области определения функции $x \in [2, +\infty)$, а для производной $x \in (2, +\infty)$.
На этом промежутке оба слагаемых положительны: $3x^2 > 0$ и $\frac{1}{2\sqrt{x-2}} > 0$.
Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x \in (2, +\infty)$, что означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[2, +\infty)$.
Если функция $f(x)$ строго монотонна, то и обратная ей функция $g(x)$ также будет строго монотонной. Строго монотонная функция каждое свое значение принимает только один раз. Поэтому уравнение $g(x) = c$ для любого $c$ из области значений $g(x)$ может иметь не более одного корня.
Таким образом, не существует такого значения $c$, при котором уравнение $g(x) = c$ имело бы два корня.
Ответ: не существует.

7.13. Функция $g$ является обратной к функции $f(x) = x^5 + x - 1$. Решите уравнение $f(x) = g(x)$.

Дано уравнение $f(x) = g(x)$, где $f(x) = x^5 + x - 1$ и $g(x)$ — функция, обратная к $f(x)$.

Графики взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ симметричны относительно прямой $y = x$. Точки пересечения этих графиков, то есть решения уравнения $f(x) = g(x)$, лежат на этой прямой, если функция $f(x)$ является строго монотонной. В этом случае решения уравнения $f(x) = g(x)$ совпадают с решениями уравнения $f(x) = x$.

Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Для этого найдем её производную:

$f'(x) = (x^5 + x - 1)' = 5x^4 + 1$.

Так как выражение $x^4$ всегда неотрицательно ($x^4 \ge 0$) для любого действительного $x$, то $5x^4 \ge 0$. Следовательно, производная $f'(x) = 5x^4 + 1 \ge 1$.

Поскольку $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.

Это означает, что мы можем заменить исходное уравнение $f(x) = g(x)$ на равносильное ему уравнение $f(x) = x$.

Решим это уравнение:

$x^5 + x - 1 = x$

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения:

$x^5 - 1 = 0$

$x^5 = 1$

Единственным действительным корнем этого уравнения является $x = \sqrt[5]{1}$, то есть $x = 1$.

Ответ: $x=1$.

7.14. Функция $f$ является обратной к функции $g(x) = x^3 + x - 8$. Решите уравнение $f(x) = g(x)$.

По условию, функция $f(x)$ является обратной к функции $g(x) = x^3 + x - 8$. Нам необходимо решить уравнение $f(x) = g(x)$.

Графики взаимно обратных функций $y=g(x)$ и $y=f(x)$ симметричны относительно прямой $y=x$. Если функция $g(x)$ является строго монотонной (строго возрастающей или строго убывающей), то точки пересечения её графика с графиком обратной ей функции могут лежать только на прямой $y=x$.

Исследуем функцию $g(x)$ на монотонность. Для этого найдем ее производную:

$g'(x) = (x^3 + x - 8)' = 3x^2 + 1$

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3x^2 \ge 0$. Следовательно, производная $g'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1$.

Так как $g'(x) > 0$ при всех значениях $x$, функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.

Это означает, что решения уравнения $f(x) = g(x)$ совпадают с решениями уравнения $g(x) = x$ (а также $f(x) = x$).

Составим и решим это уравнение:

$x^3 + x - 8 = x$

Перенесем $x$ из правой части в левую:

$x^3 + x - x - 8 = 0$

$x^3 - 8 = 0$

$x^3 = 8$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем:

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

Ответ: 2

7.15. Решите уравнение

$\sqrt{x - \frac{1}{8}} = x^2 + \frac{1}{8}$

Исходное уравнение:$$ \sqrt{x - \frac{1}{8}} = x^2 + \frac{1}{8} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:$$ x - \frac{1}{8} \ge 0 $$$$ x \ge \frac{1}{8} $$Правая часть уравнения, $x^2 + \frac{1}{8}$, всегда положительна для любого действительного $x$, поскольку $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + \frac{1}{8} \ge \frac{1}{8} > 0$. Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \ge \frac{1}{8}$.

Для решения этого уравнения применим метод введения новой переменной. Пусть $y = \sqrt{x - \frac{1}{8}}$. Согласно определению арифметического квадратного корня, $y \ge 0$. Возведем обе части равенства $y = \sqrt{x - \frac{1}{8}}$ в квадрат:$$ y^2 = x - \frac{1}{8} $$Отсюда можно выразить $x$:$$ x = y^2 + \frac{1}{8} $$

Теперь подставим $y$ в левую часть исходного уравнения:$$ y = x^2 + \frac{1}{8} $$

Таким образом, мы получили систему двух уравнений:$$ \begin{cases} x = y^2 + \frac{1}{8} \\ y = x^2 + \frac{1}{8} \end{cases} $$При этом из ОДЗ мы знаем, что $x \ge \frac{1}{8}$, а из второго уравнения системы следует, что $y = x^2 + \frac{1}{8} \ge (\frac{1}{8})^2 + \frac{1}{8} > \frac{1}{8}$, что согласуется с условием $y \ge 0$.

Вычтем второе уравнение из первого:$$ x - y = (y^2 + \frac{1}{8}) - (x^2 + \frac{1}{8}) $$$$ x - y = y^2 - x^2 $$$$ x - y = -(x^2 - y^2) $$Применим формулу разности квадратов:$$ x - y = -(x - y)(x + y) $$Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $(x - y)$:$$ (x - y) + (x - y)(x + y) = 0 $$$$ (x - y)(1 + x + y) = 0 $$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x - y = 0 \implies x = y$.
Случай 2: $1 + x + y = 0 \implies x + y = -1$.

Проанализируем второй случай. Мы знаем, что $x \ge \frac{1}{8}$ и $y = x^2 + \frac{1}{8} \ge \frac{1}{8}$. Сложив эти два неравенства, получим:$x + y \ge \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. Равенство $x + y = -1$ противоречит неравенству $x + y \ge \frac{1}{4}$. Следовательно, второй случай не дает решений.

Вернемся к первому случаю: $x = y$. Подставим это в любое из уравнений системы, например, в $y = x^2 + \frac{1}{8}$:$$ x = x^2 + \frac{1}{8} $$Мы получили квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду:$$ x^2 - x + \frac{1}{8} = 0 $$Для удобства умножим все уравнение на 8:$$ 8x^2 - 8x + 1 = 0 $$Найдем корни этого уравнения через дискриминант:$$ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 64 - 32 = 32 $$$$ \sqrt{D} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} $$Корни уравнения:$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2 \cdot 8} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{16} = \frac{4(2 \pm \sqrt{2})}{16} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{4} $$

Мы получили два потенциальных решения: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$ и $x_2 = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$.

Осталось проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ, то есть выполняется ли для них условие $x \ge \frac{1}{8}$.
Для $x_1 = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$:Сравним $\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$ с $\frac{1}{8}$. Умножим обе дроби на 8: $2(2 + \sqrt{2})$ и $1$. Получим $4 + 2\sqrt{2}$ и $1$. Очевидно, что $4 + 2\sqrt{2} > 1$, значит, $x_1 > \frac{1}{8}$. Этот корень подходит.
Для $x_2 = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$:Сравним $\frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ с $\frac{1}{8}$. Умножим обе дроби на 8: $2(2 - \sqrt{2})$ и $1$. Получим $4 - 2\sqrt{2}$ и $1$. Перенесем 1 влево: $3 - 2\sqrt{2} > 0$? Сравним 3 и $2\sqrt{2}$. Так как обе части положительны, можем возвести их в квадрат: $3^2 = 9$ и $(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$. Поскольку $9 > 8$, то и $3 > 2\sqrt{2}$, а значит $4 - 2\sqrt{2} > 1$. Следовательно, $x_2 > \frac{1}{8}$. Этот корень также подходит.

Ответ: $\frac{2 - \sqrt{2}}{4}; \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$.

7.16. Решите уравнение $\sqrt{1 + \sqrt{x}} = x - 1.$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ) уравнения $ \sqrt{1+\sqrt{x}} = x - 1 $. Для этого должны выполняться следующие условия:

1. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Результат извлечения квадратного корня в левой части уравнения всегда неотрицателен, поэтому правая часть также должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge 1$.

Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \ge 1$), получаем итоговую ОДЗ: $x \ge 1$.

Теперь приступим к решению уравнения. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:

$$ (\sqrt{1+\sqrt{x}})^2 = (x - 1)^2 $$

$$ 1+\sqrt{x} = x^2 - 2x + 1 $$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$$ \sqrt{x} = x^2 - 2x $$

Для упрощения дальнейших выкладок введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x}$. Исходя из ОДЗ ($x \ge 1$), для новой переменной получаем условие $y = \sqrt{x} \ge \sqrt{1} = 1$. Также, $x=y^2$. Подставим замену в уравнение:

$$ y = (y^2)^2 - 2(y^2) $$

$$ y = y^4 - 2y^2 $$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$$ y^4 - 2y^2 - y = 0 $$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$$ y(y^3 - 2y - 1) = 0 $$

Это уравнение распадается на два: $y = 0$ или $y^3 - 2y - 1 = 0$.

Корень $y = 0$ не удовлетворяет нашему условию $y \ge 1$, следовательно, он является посторонним.

Рассмотрим кубическое уравнение $y^3 - 2y - 1 = 0$. Попробуем найти его рациональные корни, которые могут быть только делителями свободного члена, то есть $\pm 1$. Проверка показывает, что $y=-1$ является корнем: $(-1)^3 - 2(-1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$. Разделив многочлен $y^3 - 2y - 1$ на двучлен $(y+1)$, получим $y^2 - y - 1$. Таким образом, уравнение можно представить в виде:

$$ (y+1)(y^2 - y - 1) = 0 $$

Корень $y = -1$ также не удовлетворяет условию $y \ge 1$. Остается решить квадратное уравнение $y^2 - y - 1 = 0$.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $$

Мы получили два возможных значения для $y$: $y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

Проверим эти значения на соответствие условию $y \ge 1$:

• $y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 + 2.236}{2} \approx 1.618$. Так как $1.618 \ge 1$, этот корень подходит.
• $y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 - 2.236}{2} \approx -0.618$. Этот корень не удовлетворяет условию $y \ge 1$.

Единственным подходящим решением для $y$ является $y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$$ \sqrt{x} = y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$

Возведем обе части в квадрат:

$$ x = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{1^2 + 2\cdot1\cdot\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $$

На последнем шаге выполним проверку. Найденное значение $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.618$ удовлетворяет ОДЗ $x \ge 1$. Подставим его в исходное уравнение $\sqrt{1+\sqrt{x}} = x - 1$.

Левая часть: $\sqrt{1+\sqrt{x}} = \sqrt{1 + \frac{1+\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{2+1+\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$.

Правая часть: $x - 1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{3+\sqrt{5}-2}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Равенство $\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ является верным, так как $(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1+2\sqrt{5}+5}{4} = \frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, левая и правая части уравнения равны, и найденный корень является верным.

Ответ: $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

7.17. Функция $f$ такова, что для всех $x \in R$ выполняется равенство $f(f(x))=x$. Докажите, что $f$ — обратимая функция.

Функция является обратимой, если для нее существует обратная функция. Функция $g$ называется обратной к функции $f$, если для всех $x$ из области определения $f$ и для всех $y$ из области значений $f$ выполняются два равенства: $g(f(x)) = x$ и $f(g(y)) = y$. В нашем случае функция $f$ определена на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Чтобы доказать обратимость функции $f$, покажем, что у нее есть обратная функция. Рассмотрим в качестве кандидата на обратную функцию $g$ саму функцию $f$, то есть положим $g(x) = f(x)$. Проверим, выполняются ли для $g$ два условия из определения обратной функции.

Первое условие: $g(f(x)) = x$. Подставив $g(x) = f(x)$ в левую часть, получим $f(f(x))$. По условию задачи, $f(f(x)) = x$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, первое условие выполняется.

Второе условие: $f(g(y)) = y$. Подставив $g(y) = f(y)$ в левую часть, получим $f(f(y))$. Поскольку исходное равенство $f(f(x)) = x$ справедливо для любого действительного числа, оно будет справедливо и для любого $y \in \mathbb{R}$. Таким образом, $f(f(y)) = y$. Следовательно, второе условие также выполняется.

Так как для $g(x) = f(x)$ выполняются оба условия, определяющие обратную функцию, мы доказали, что функция $f$ имеет обратную функцию (которая совпадает с ней самой). Наличие обратной функции означает, что функция $f$ является обратимой.

Ответ: Функция $f$ является обратимой, так как для нее существует обратная функция, которая совпадает с самой функцией $f$. Это напрямую следует из данного в условии тождества $f(f(x)) = x$.

7.18. Функция $f$ имеет обратную функцию $g$. Известно, что неравенство $\frac{1}{2}x - 1 < f(x) < \frac{1}{2}x + 1$ выполняется для всех $x \in \mathbf{R}$, а уравнение $g(x) = 10 - 2x^2$ имеет один положительный корень. Найдите этот корень приближённо с абсолютной погрешностью¹, равной 0,25.

Поскольку функция $g$ является обратной к функции $f$, то из соотношения $y = f(x)$ следует $x = g(y)$.

Исходное неравенство $\frac{1}{2}x - 1 < f(x) < \frac{1}{2}x + 1$ выполняется для всех $x \in R$. Подставим в это неравенство $f(x) = y$ и $x = g(y)$. Поскольку область определения $f$ есть $R$, то область значений $g$ также есть $R$. Область значений $f$ (и, соответственно, область определения $g$) также есть $R$, так как график $f(x)$ заключен между двумя параллельными прямыми, уходящими в бесконечность в обе стороны.

Получаем неравенство для функции $g$:

$\frac{1}{2}g(y) - 1 < y < \frac{1}{2}g(y) + 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств, из которых можно выразить $g(y)$:

Из левой части: $\frac{1}{2}g(y) - 1 < y \implies \frac{1}{2}g(y) < y + 1 \implies g(y) < 2y + 2$.

Из правой части: $y < \frac{1}{2}g(y) + 1 \implies y - 1 < \frac{1}{2}g(y) \implies 2y - 2 < g(y)$.

Объединяя результаты, получаем неравенство, которому удовлетворяет функция $g$ для любого аргумента (переобозначим его снова как $x$):

$2x - 2 < g(x) < 2x + 2$

По условию, уравнение $g(x) = 10 - 2x^2$ имеет один положительный корень. Обозначим этот корень $x_0$. Для этого корня выполняется равенство $g(x_0) = 10 - 2x_0^2$. Подставим это выражение в полученное нами неравенство для $g(x)$:

$2x_0 - 2 < 10 - 2x_0^2 < 2x_0 + 2$

Теперь решим эту систему неравенств относительно $x_0$.

Первое неравенство:

$2x_0 - 2 < 10 - 2x_0^2$

$2x_0^2 + 2x_0 - 12 < 0$

$x_0^2 + x_0 - 6 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $-3 < x_0 < 2$.

Второе неравенство:

$10 - 2x_0^2 < 2x_0 + 2$

$0 < 2x_0^2 + 2x_0 - 8$

$x_0^2 + x_0 - 4 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 4 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 4$ направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x_0 < \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$ или $x_0 > \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$.

Мы ищем положительный корень, то есть $x_0 > 0$. Объединим все условия:

1) $-3 < x_0 < 2$

2) $x_0 < \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$ или $x_0 > \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$

3) $x_0 > 0$

Из (1) и (3) следует, что $0 < x_0 < 2$.

Учитывая (2) и то, что $\frac{-1 - \sqrt{17}}{2} < 0$, получаем, что корень $x_0$ должен удовлетворять условию $x_0 > \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$.

Таким образом, для корня $x_0$ выполняется двойное неравенство:

$\frac{\sqrt{17} - 1}{2} < x_0 < 2$

Нам нужно найти приближенное значение $x_0$ с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,25. Это означает, что мы должны найти такое число $x_a$, что $|x_a - x_0| \le 0,25$. Для этого достаточно найти отрезок $[a, b]$ длиной $b-a \le 2 \cdot 0,25 = 0,5$, который содержит корень $x_0$. Тогда середина этого отрезка $x_a = \frac{a+b}{2}$ будет искомым приближением.

Оценим границы найденного интервала для $x_0$. Мы знаем, что $16 < 17$, поэтому $\sqrt{16} < \sqrt{17}$, то есть $4 < \sqrt{17}$.

Тогда нижняя граница интервала: $\frac{\sqrt{17} - 1}{2} > \frac{4 - 1}{2} = 1,5$.

Следовательно, корень $x_0$ лежит в интервале $(1,5; 2)$.

Рассмотрим отрезок $[1,5; 2]$. Он содержит корень $x_0$, так как $(\frac{\sqrt{17}-1}{2}, 2) \subset (1,5; 2) \subset [1,5; 2]$.

Длина этого отрезка равна $2 - 1,5 = 0,5$.

В качестве приближенного значения корня можно взять середину этого отрезка:

$x_a = \frac{1,5 + 2}{2} = \frac{3,5}{2} = 1,75$.

Для любого $x_0$ из отрезка $[1,5; 2]$ абсолютная погрешность приближения $x_a=1,75$ не превышает половины длины отрезка, то есть $|x_0 - 1,75| \le \frac{0,5}{2} = 0,25$. Это удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 1,75.

7.19. Функция $f$ имеет обратную функцию $g$. Известно, что неравенство $2x - 8 < f(x) < 2x - 6$ выполняется для всех $x \in R$, а уравнение $g(x) = 2x^2 - 3$ имеет один положительный корень. Найдите этот корень приближённо с абсолютной погрешностью, равной $0,1$.

Пусть $x_0$ — искомый положительный корень уравнения $g(x) = 2x^2 - 3$. Это означает, что $x_0 > 0$ и для него выполняется равенство $g(x_0) = 2x_0^2 - 3$.

Поскольку функция $g$ является обратной к функции $f$, то из равенства $y_0 = g(x_0)$ следует равенство $f(y_0) = x_0$. Подставим в это выражение для $y_0$ его значение: $y_0 = 2x_0^2 - 3$.

Из условия задачи известно, что для всех $x \in R$ выполняется неравенство $2x - 8 < f(x) < 2x - 6$. Это неравенство справедливо и для $x = y_0$, поэтому:$2y_0 - 8 < f(y_0) < 2y_0 - 6$.

Теперь подставим в это неравенство выражения для $f(y_0)$ и $y_0$ через $x_0$:$2(2x_0^2 - 3) - 8 < x_0 < 2(2x_0^2 - 3) - 6$.

Упростим полученное двойное неравенство:$4x_0^2 - 6 - 8 < x_0 < 4x_0^2 - 6 - 6$$4x_0^2 - 14 < x_0 < 4x_0^2 - 12$.

Это двойное неравенство равносильно системе из двух квадратных неравенств:1. $4x_0^2 - 14 < x_0 \implies 4x_0^2 - x_0 - 14 < 0$2. $x_0 < 4x_0^2 - 12 \implies 4x_0^2 - x_0 - 12 > 0$

Решим первое неравенство $4x^2 - x - 14 < 0$.
Сначала найдем корни квадратного уравнения $4x^2 - x - 14 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14) = 1 + 224 = 225 = 15^2$. Корни уравнения:$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -1.75$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$Так как ветви параболы $y = 4x^2 - x - 14$ направлены вверх, неравенство $4x^2 - x - 14 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $-1.75 < x_0 < 2$.

Решим второе неравенство $4x^2 - x - 12 > 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2 - x - 12 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-12) = 1 + 192 = 193$. Корни уравнения:$x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{193}}{8}$. Так как ветви параболы $y = 4x^2 - x - 12$ направлены вверх, неравенство $4x^2 - x - 12 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне отрезка между корнями:$x_0 < \frac{1 - \sqrt{193}}{8}$ или $x_0 > \frac{1 + \sqrt{193}}{8}$.

Найдем пересечение решений и учтем, что $x_0 > 0$.
Из первого неравенства и условия $x_0 > 0$ следует, что $0 < x_0 < 2$. Рассмотрим решения второго неравенства. Так как $13 < \sqrt{193} < 14$, то корень $\frac{1 - \sqrt{193}}{8}$ отрицателен. Поскольку мы ищем положительный корень, нам подходит только условие $x_0 > \frac{1 + \sqrt{193}}{8}$. Объединяя все условия, получаем:$\frac{1 + \sqrt{193}}{8} < x_0 < 2$.

Найдем приближенное значение корня с абсолютной погрешностью 0,1.
Для этого нам нужно найти интервал $(a, b)$, содержащий $x_0$, длина которого $b-a \le 2 \cdot 0,1 = 0,2$. Тогда середина этого интервала $\frac{a+b}{2}$ будет являться приближенным значением $x_0$ с требуемой точностью. Оценим нижнюю границу $\frac{1 + \sqrt{193}}{8}$. Мы знаем, что $13.4^2 = 179.56$ и $14^2 = 196$. Следовательно, $13.4 < \sqrt{193} < 14$. Тогда $1 + 13.4 < 1 + \sqrt{193} < 1 + 14$, то есть $14.4 < 1 + \sqrt{193} < 15$. Разделив на 8, получим:$\frac{14.4}{8} < \frac{1 + \sqrt{193}}{8} < \frac{15}{8}$$1.8 < \frac{1 + \sqrt{193}}{8} < 1.875$. Таким образом, для корня $x_0$ выполняется неравенство $1.8 < x_0 < 2$. Длина этого интервала равна $2 - 1.8 = 0.2$. В качестве приближенного значения корня можно взять середину этого интервала:$x_0 \approx \frac{1.8 + 2}{2} = \frac{3.8}{2} = 1.9$. Абсолютная погрешность этого приближения не превышает половины длины интервала, то есть $\frac{0.2}{2} = 0.1$, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 1,9.