Номер 7.15, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.15. Решите уравнение

$\sqrt{x - \frac{1}{8}} = x^2 + \frac{1}{8}$

Исходное уравнение:$$ \sqrt{x - \frac{1}{8}} = x^2 + \frac{1}{8} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:$$ x - \frac{1}{8} \ge 0 $$$$ x \ge \frac{1}{8} $$Правая часть уравнения, $x^2 + \frac{1}{8}$, всегда положительна для любого действительного $x$, поскольку $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + \frac{1}{8} \ge \frac{1}{8} > 0$. Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \ge \frac{1}{8}$.

Для решения этого уравнения применим метод введения новой переменной. Пусть $y = \sqrt{x - \frac{1}{8}}$. Согласно определению арифметического квадратного корня, $y \ge 0$. Возведем обе части равенства $y = \sqrt{x - \frac{1}{8}}$ в квадрат:$$ y^2 = x - \frac{1}{8} $$Отсюда можно выразить $x$:$$ x = y^2 + \frac{1}{8} $$

Теперь подставим $y$ в левую часть исходного уравнения:$$ y = x^2 + \frac{1}{8} $$

Таким образом, мы получили систему двух уравнений:$$ \begin{cases} x = y^2 + \frac{1}{8} \\ y = x^2 + \frac{1}{8} \end{cases} $$При этом из ОДЗ мы знаем, что $x \ge \frac{1}{8}$, а из второго уравнения системы следует, что $y = x^2 + \frac{1}{8} \ge (\frac{1}{8})^2 + \frac{1}{8} > \frac{1}{8}$, что согласуется с условием $y \ge 0$.

Вычтем второе уравнение из первого:$$ x - y = (y^2 + \frac{1}{8}) - (x^2 + \frac{1}{8}) $$$$ x - y = y^2 - x^2 $$$$ x - y = -(x^2 - y^2) $$Применим формулу разности квадратов:$$ x - y = -(x - y)(x + y) $$Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $(x - y)$:$$ (x - y) + (x - y)(x + y) = 0 $$$$ (x - y)(1 + x + y) = 0 $$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x - y = 0 \implies x = y$.
Случай 2: $1 + x + y = 0 \implies x + y = -1$.

Проанализируем второй случай. Мы знаем, что $x \ge \frac{1}{8}$ и $y = x^2 + \frac{1}{8} \ge \frac{1}{8}$. Сложив эти два неравенства, получим:$x + y \ge \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. Равенство $x + y = -1$ противоречит неравенству $x + y \ge \frac{1}{4}$. Следовательно, второй случай не дает решений.

Вернемся к первому случаю: $x = y$. Подставим это в любое из уравнений системы, например, в $y = x^2 + \frac{1}{8}$:$$ x = x^2 + \frac{1}{8} $$Мы получили квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду:$$ x^2 - x + \frac{1}{8} = 0 $$Для удобства умножим все уравнение на 8:$$ 8x^2 - 8x + 1 = 0 $$Найдем корни этого уравнения через дискриминант:$$ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 64 - 32 = 32 $$$$ \sqrt{D} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} $$Корни уравнения:$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2 \cdot 8} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{16} = \frac{4(2 \pm \sqrt{2})}{16} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{4} $$

Мы получили два потенциальных решения: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$ и $x_2 = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$.

Осталось проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ, то есть выполняется ли для них условие $x \ge \frac{1}{8}$.
Для $x_1 = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$:Сравним $\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$ с $\frac{1}{8}$. Умножим обе дроби на 8: $2(2 + \sqrt{2})$ и $1$. Получим $4 + 2\sqrt{2}$ и $1$. Очевидно, что $4 + 2\sqrt{2} > 1$, значит, $x_1 > \frac{1}{8}$. Этот корень подходит.
Для $x_2 = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$:Сравним $\frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ с $\frac{1}{8}$. Умножим обе дроби на 8: $2(2 - \sqrt{2})$ и $1$. Получим $4 - 2\sqrt{2}$ и $1$. Перенесем 1 влево: $3 - 2\sqrt{2} > 0$? Сравним 3 и $2\sqrt{2}$. Так как обе части положительны, можем возвести их в квадрат: $3^2 = 9$ и $(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$. Поскольку $9 > 8$, то и $3 > 2\sqrt{2}$, а значит $4 - 2\sqrt{2} > 1$. Следовательно, $x_2 > \frac{1}{8}$. Этот корень также подходит.

Ответ: $\frac{2 - \sqrt{2}}{4}; \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$.