Номер 7.9, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.9. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) $y = 3x - 1$;

2) $y = x^2 - 4$, если $x \ge 0$.

1)

Дана функция $y = 3x - 1$. Это линейная функция, её график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

• при $x=0$, $y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• при $x=1$, $y = 3 \cdot 1 - 1 = 2$. Точка $(1, 2)$.

Теперь найдём функцию, обратную к данной. Для этого выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = 3x - 1$:

$y + 1 = 3x$

$x = \frac{y+1}{3}$

Далее, поменяем местами переменные $x$ и $y$, чтобы получить уравнение обратной функции в стандартном виде:

$y = \frac{x+1}{3}$ или $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$.

График обратной функции — это тоже прямая линия. Для её построения также найдём две точки. Можно взять точки, симметричные точкам исходного графика относительно прямой $y=x$ (координаты меняются местами): $(-1, 0)$ и $(2, 1)$.

Проверим их, подставив в уравнение обратной функции:

• при $x=-1$, $y = \frac{-1+1}{3} = 0$. Точка $(-1, 0)$.
• при $x=2$, $y = \frac{2+1}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Точка $(2, 1)$.

Для построения графиков в одной системе координат необходимо:

1. Начертить оси координат $Ox$ и $Oy$.
2. Построить прямую $y = 3x - 1$, проведя её через точки $(0, -1)$ и $(1, 2)$.
3. В этой же системе координат построить прямую $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$, проведя её через точки $(-1, 0)$ и $(2, 1)$.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Графиком функции $y=3x-1$ является прямая, проходящая через точки $(0,-1)$ и $(1,2)$. Графиком обратной функции $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$ является прямая, проходящая через точки $(-1,0)$ и $(2,1)$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

2)

Дана функция $y = x^2 - 4$ при условии $x \ge 0$. Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола, смещённая на 4 единицы вниз по оси $Oy$. Условие $x \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только правую ветвь этой параболы, включая её вершину в точке $(0, -4)$.

Найдём несколько точек для построения графика:

• при $x=0$, $y = 0^2 - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
• при $x=1$, $y = 1^2 - 4 = -3$. Точка $(1, -3)$.
• при $x=2$, $y = 2^2 - 4 = 0$. Точка $(2, 0)$.

Теперь найдём функцию, обратную к данной. Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2 - 4$:

$x^2 = y + 4$

$x = \pm\sqrt{y+4}$

Так как по условию дано, что $x \ge 0$, мы выбираем знак «+» перед корнем: $x = \sqrt{y+4}$.

Теперь поменяем местами переменные $x$ и $y$ для получения стандартного вида обратной функции:

$y = \sqrt{x+4}$.

Область определения исходной функции $D(y) = [0, +\infty)$, а область значений $E(y) = [-4, +\infty)$. Для обратной функции они меняются местами: область определения $D(y_{inv}) = [-4, +\infty)$, а область значений $E(y_{inv}) = [0, +\infty)$.

График обратной функции $y = \sqrt{x+4}$ — это график функции $y=\sqrt{x}$, смещённый на 4 единицы влево по оси $Ox$. Найдём несколько точек для его построения, используя симметричные точки исходного графика:

• Точка $(-4, 0)$.
• Точка $(-3, 1)$.
• Точка $(0, 2)$.

Для построения графиков в одной системе координат необходимо:

1. Начертить оси координат.
2. Построить график функции $y = x^2 - 4$ для $x \ge 0$. Это кривая (правая ветвь параболы), выходящая из точки $(0, -4)$ и проходящая через точки $(1, -3)$ и $(2, 0)$.
3. В этой же системе координат построить график функции $y = \sqrt{x+4}$. Это кривая, выходящая из точки $(-4, 0)$ и проходящая через точки $(-3, 1)$ и $(0, 2)$.

Оба графика будут симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Графиком функции $y=x^2-4$ при $x \ge 0$ является правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0,-4)$. Графиком обратной функции $y=\sqrt{x+4}$ является кривая (ветвь параболы), выходящая из точки $(-4,0)$ и симметричная исходному графику относительно прямой $y=x$.