Номер 7.11, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.11. Пусть $g$ — функция, обратная к функции $f(x) = x^5 + 6x^3$.

1) Найдите $g(7)$.

2) Решите уравнение $g(x) = -1$.

3) Сколько корней имеет уравнение $g(x) = c$ в зависимости от значения параметра $c$?

Дана функция $f(x) = x^5 + 6x^3$ и обратная к ней функция $g(x)$.

Для решения задачи сначала исследуем свойства функции $f(x)$.

1. Область определения функции $f(x)$ — все действительные числа, так как это многочлен: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $f'(x) = (x^5 + 6x^3)' = 5x^4 + 18x^2$.

3. Так как степени $x$ в производной четные ($x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$), то производная $f'(x) = 5x^4 + 18x^2 \ge 0$ для всех действительных $x$. Равенство $f'(x) = 0$ достигается только при $x=0$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.

4. Строго возрастающая функция является взаимно-однозначной, а значит, для нее существует обратная функция $g(x)$.

5. Найдем область значений функции $f(x)$. Поскольку $f(x)$ — непрерывная функция, и $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, а $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, то область значений функции $E(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения обратной функции $g(x)$ совпадает с областью значений $f(x)$, то есть $D(g) = (-\infty; +\infty)$.

1) Найдите g(7).

Пусть $g(7) = a$. По определению обратной функции, это равенство эквивалентно тому, что $f(a) = 7$.
Составим и решим уравнение:
$a^5 + 6a^3 = 7$
$a^5 + 6a^3 - 7 = 0$
Легко заметить, что $a=1$ является корнем этого уравнения, так как $1^5 + 6 \cdot 1^3 - 7 = 1 + 6 - 7 = 0$.
Поскольку мы выяснили, что функция $f(x)$ является строго возрастающей, она принимает каждое свое значение ровно один раз. Следовательно, уравнение $f(a) = 7$ имеет единственный корень $a=1$.
Таким образом, $g(7) = 1$.
Ответ: 1

2) Решите уравнение g(x) = -1.

Уравнение $g(x) = -1$ по определению обратной функции эквивалентно равенству $f(-1) = x$.
Найдем значение $x$, вычислив значение функции $f(x)$ в точке $-1$:
$x = f(-1) = (-1)^5 + 6(-1)^3 = -1 + 6(-1) = -1 - 6 = -7$.
Следовательно, решением уравнения является $x = -7$.
Ответ: -7

3) Сколько корней имеет уравнение g(x) = c в зависимости от значения параметра c?

Рассмотрим уравнение $g(x) = c$, где $c$ — это параметр.
Так как $g(x)$ является обратной функцией к $f(x)$, мы можем применить функцию $f$ к обеим частям уравнения:
$f(g(x)) = f(c)$.
По свойству обратных функций, $f(g(x)) = x$. Таким образом, мы получаем:
$x = f(c)$.
Подставив определение функции $f$, найдем явное выражение для $x$:
$x = c^5 + 6c^3$.
Это равенство показывает, что для любого действительного значения параметра $c$ существует ровно одно соответствующее ему значение $x$.
Кроме того, как было показано ранее, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Это свойство наследуется и обратной функцией $g(x)$, которая также будет строго возрастающей на своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Строго монотонная функция принимает каждое значение из своей области значений ровно один раз. Поскольку область значений $g(x)$ — это все действительные числа, для любого действительного $c$ уравнение $g(x)=c$ будет иметь ровно один корень.
Ответ: при любом значении параметра c уравнение имеет один корень.