Номер 8.12, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.12. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 + 3x}{x - 5} \ge \frac{28}{x - 5}$;

2) $\frac{1}{x} < 1$;

3) $\frac{x}{x + 3} > \frac{1}{2}$;

4) $\frac{1}{x + 2} < \frac{3}{x - 3}$;

5) $\frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} > 1$;

6) $\frac{x - 3}{x + 3} \le \frac{2x - 5}{4x - 3}$.

1)

Исходное неравенство: $ \frac{x^2 + 3x}{x - 5} \ge \frac{28}{x - 5} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $ x - 5 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $.

Перенесем все члены в левую часть:

$ \frac{x^2 + 3x}{x - 5} - \frac{28}{x - 5} \ge 0 $

Так как знаменатели одинаковы, объединим дроби:

$ \frac{x^2 + 3x - 28}{x - 5} \ge 0 $

Разложим числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $ x^2 + 3x - 28 = 0 $. По теореме Виета, корни уравнения $ x_1 = -7 $ и $ x_2 = 4 $.

Теперь неравенство можно записать в виде:

$ \frac{(x + 7)(x - 4)}{x - 5} \ge 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя ($ -7 $ и $ 4 $) и нуль знаменателя ($ 5 $). Нули числителя будут закрашенными точками, так как неравенство нестрогое, а нуль знаменателя — выколотой.

Точки делят числовую ось на четыре интервала: $ (-\infty; -7] $, $ [-7; 4] $, $ [4; 5) $ и $ (5; +\infty) $.

Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $ x > 5 $ (например, $ x=6 $): $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $.
• При $ 4 \le x < 5 $ (например, $ x=4.5 $): $ \frac{(+)(+)}{(-)} < 0 $.
• При $ -7 \le x \le 4 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(+)(-)}{(-)} > 0 $.
• При $ x \le -7 $ (например, $ x=-8 $): $ \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 $.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $ [-7; 4] $ и $ (5; +\infty) $.

Ответ: $ x \in [-7, 4] \cup (5, +\infty) $.

2)

Исходное неравенство: $ \frac{1}{x} < 1 $.

ОДЗ: $ x \neq 0 $.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{1}{x} - 1 < 0 $

$ \frac{1 - x}{x} < 0 $

Решим методом интервалов. Нуль числителя: $ 1 - x = 0 \implies x = 1 $. Нуль знаменателя: $ x = 0 $. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.

Точки $ 0 $ и $ 1 $ делят ось на интервалы: $ (-\infty; 0) $, $ (0; 1) $ и $ (1; +\infty) $.

Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $ x > 1 $ (например, $ x=2 $): $ \frac{-}{+} < 0 $.
• При $ 0 < x < 1 $ (например, $ x=0.5 $): $ \frac{+}{+} > 0 $.
• При $ x < 0 $ (например, $ x=-1 $): $ \frac{+}{-} < 0 $.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $ (-\infty; 0) $ и $ (1; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) $.

3)

Исходное неравенство: $ \frac{x}{x + 3} > \frac{1}{2} $.

ОДЗ: $ x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3 $.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{x}{x + 3} - \frac{1}{2} > 0 $

$ \frac{2x - (x + 3)}{2(x + 3)} > 0 $

$ \frac{2x - x - 3}{2(x + 3)} > 0 $

$ \frac{x - 3}{2(x + 3)} > 0 $

Поскольку $ 2 > 0 $, знак неравенства зависит от $ \frac{x - 3}{x + 3} > 0 $.

Решим методом интервалов. Нуль числителя: $ x = 3 $. Нуль знаменателя: $ x = -3 $. Обе точки выколотые.

Интервалы: $ (-\infty; -3) $, $ (-3; 3) $, $ (3; +\infty) $.

Определим знаки:

• При $ x > 3 $: $ \frac{+}{+} > 0 $.
• При $ -3 < x < 3 $: $ \frac{-}{+} < 0 $.
• При $ x < -3 $: $ \frac{-}{-} > 0 $.

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $ x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) $.

4)

Исходное неравенство: $ \frac{1}{x + 2} < \frac{3}{x - 3} $.

ОДЗ: $ x \neq -2 $ и $ x \neq 3 $.

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{1}{x + 2} - \frac{3}{x - 3} < 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{(x - 3) - 3(x + 2)}{(x + 2)(x - 3)} < 0 $

$ \frac{x - 3 - 3x - 6}{(x + 2)(x - 3)} < 0 $

$ \frac{-2x - 9}{(x + 2)(x - 3)} < 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \frac{2x + 9}{(x + 2)(x - 3)} > 0 $

Решим методом интервалов. Нули: $ 2x + 9 = 0 \implies x = -4.5 $; $ x + 2 = 0 \implies x = -2 $; $ x - 3 = 0 \implies x = 3 $. Все точки выколотые.

Интервалы: $ (-\infty; -4.5) $, $ (-4.5; -2) $, $ (-2; 3) $, $ (3; +\infty) $.

Определим знаки:

• При $ x > 3 $: $ \frac{+}{(+)(+)} > 0 $.
• При $ -2 < x < 3 $: $ \frac{+}{(+)(-)} < 0 $.
• При $ -4.5 < x < -2 $: $ \frac{+}{(-)(-)} > 0 $.
• При $ x < -4.5 $: $ \frac{-}{(-)(-)} < 0 $.

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $ x \in (-4.5, -2) \cup (3, +\infty) $.

5)

Исходное неравенство: $ \frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} > 1 $.

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x \neq 1 $.

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} - 1 > 0 $

Приведем к общему знаменателю $ x(x-1) $:

$ \frac{2(x - 1) - x - x(x - 1)}{x(x - 1)} > 0 $

$ \frac{2x - 2 - x - x^2 + x}{x(x - 1)} > 0 $

$ \frac{-x^2 + 2x - 2}{x(x - 1)} > 0 $

Умножим на -1 и сменим знак:

$ \frac{x^2 - 2x + 2}{x(x - 1)} < 0 $

Рассмотрим числитель $ x^2 - 2x + 2 $. Найдем его дискриминант: $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 $. Так как $ D < 0 $ и коэффициент при $ x^2 $ положителен ($ a=1 > 0 $), выражение $ x^2 - 2x + 2 $ всегда положительно.

Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Неравенство равносильно:

$ x(x - 1) < 0 $

Это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось в точках $ x=0 $ и $ x=1 $. Она принимает отрицательные значения между корнями.

Таким образом, решение: $ 0 < x < 1 $.

Ответ: $ x \in (0, 1) $.

6)

Исходное неравенство: $ \frac{x - 3}{x + 3} \le \frac{2x - 5}{4x - 3} $.

ОДЗ: $ x \neq -3 $ и $ x \neq \frac{3}{4} $.

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{2x - 5}{4x - 3} \le 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{(x - 3)(4x - 3) - (2x - 5)(x + 3)}{(x + 3)(4x - 3)} \le 0 $

Раскроем скобки в числителе:

$ (4x^2 - 3x - 12x + 9) - (2x^2 + 6x - 5x - 15) = (4x^2 - 15x + 9) - (2x^2 + x - 15) = 4x^2 - 15x + 9 - 2x^2 - x + 15 = 2x^2 - 16x + 24 $.

Неравенство принимает вид:

$ \frac{2x^2 - 16x + 24}{(x + 3)(4x - 3)} \le 0 $

Вынесем 2 за скобки в числителе и разделим на 2:

$ \frac{x^2 - 8x + 12}{(x + 3)(4x - 3)} \le 0 $

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $ x^2 - 8x + 12 = 0 $ по теореме Виета равны $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 6 $.

$ \frac{(x - 2)(x - 6)}{(x + 3)(4x - 3)} \le 0 $

Решим методом интервалов. Нули числителя (закрашенные точки): $ 2, 6 $. Нули знаменателя (выколотые точки): $ -3, \frac{3}{4} $.

Отметим точки на оси: $ -3, \frac{3}{4}, 2, 6 $.

Определим знаки на интервалах:

• При $ x > 6 $: $ \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0 $.
• При $ 2 \le x \le 6 $: $ \frac{(+)(-)}{(+)(+)} < 0 $.
• При $ \frac{3}{4} < x < 2 $: $ \frac{(-)(-)}{(+)(+)} > 0 $.
• При $ -3 < x < \frac{3}{4} $: $ \frac{(-)(-)}{(+)(-)} < 0 $.
• При $ x < -3 $: $ \frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0 $.

Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю.

Ответ: $ x \in (-3, \frac{3}{4}) \cup [2, 6] $.