Номер 8.13, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.13. Решите неравенство:

1) $ \frac{1}{x+2} \le 1; $

2) $ \frac{x}{x+1} \ge 2; $

3) $ \frac{5x+8}{4-x} < 2; $

4) $ \frac{2}{x+3} \ge \frac{1}{x-1}. $

1)

Дано неравенство: $ \frac{1}{x+2} \le 1 $.
Перенесем 1 в левую часть неравенства: $ \frac{1}{x+2} - 1 \le 0 $
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{1 - (x+2)}{x+2} \le 0 $
$ \frac{1 - x - 2}{x+2} \le 0 $
$ \frac{-x - 1}{x+2} \le 0 $
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $ \frac{x+1}{x+2} \ge 0 $
Решим это неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя: $ x+1 = 0 \implies x = -1 $ (точка входит в решение, так как неравенство нестрогое).
$ x+2 = 0 \implies x = -2 $ (точка не входит в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю).
Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения $ \frac{x+1}{x+2} $ на полученных интервалах:
- При $ x < -2 $ (например, $ x = -3 $): $ \frac{-3+1}{-3+2} = \frac{-2}{-1} = 2 > 0 $. Знак "+".
- При $ -2 < x < -1 $ (например, $ x = -1.5 $): $ \frac{-1.5+1}{-1.5+2} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 < 0 $. Знак "-".
- При $ x > -1 $ (например, $ x = 0 $): $ \frac{0+1}{0+2} = \frac{1}{2} > 0 $. Знак "+".
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это интервалы $ (-\infty; -2) $ и $ [-1; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty; -2) \cup [-1; +\infty) $.

2)

Дано неравенство: $ \frac{x}{x+1} \ge 2 $.
Перенесем 2 в левую часть: $ \frac{x}{x+1} - 2 \ge 0 $
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{x - 2(x+1)}{x+1} \ge 0 $
$ \frac{x - 2x - 2}{x+1} \ge 0 $
$ \frac{-x - 2}{x+1} \ge 0 $
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства: $ \frac{x+2}{x+1} \le 0 $
Решим методом интервалов.
Нули числителя и знаменателя: $ x+2 = 0 \implies x = -2 $ (точка входит в решение).
$ x+1 = 0 \implies x = -1 $ (точка не входит в решение).
Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения $ \frac{x+2}{x+1} $:
- При $ x < -2 $ (например, $ x = -3 $): $ \frac{-3+2}{-3+1} = \frac{-1}{-2} > 0 $. Знак "+".
- При $ -2 < x < -1 $ (например, $ x = -1.5 $): $ \frac{-1.5+2}{-1.5+1} = \frac{0.5}{-0.5} < 0 $. Знак "-".
- При $ x > -1 $ (например, $ x = 0 $): $ \frac{0+2}{0+1} = 2 > 0 $. Знак "+".
Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю (знак "-"). Это интервал $ [-2; -1) $.
Ответ: $ x \in [-2; -1) $.

3)

Дано неравенство: $ \frac{5x+8}{4-x} < 2 $.
Перенесем 2 в левую часть: $ \frac{5x+8}{4-x} - 2 < 0 $
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{5x+8 - 2(4-x)}{4-x} < 0 $
$ \frac{5x+8 - 8 + 2x}{4-x} < 0 $
$ \frac{7x}{4-x} < 0 $
Решим методом интервалов.
Нули числителя и знаменателя: $ 7x = 0 \implies x = 0 $ (точка не входит в решение, так как неравенство строгое).
$ 4-x = 0 \implies x = 4 $ (точка не входит в решение).
Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения $ \frac{7x}{4-x} $:
- При $ x < 0 $ (например, $ x = -1 $): $ \frac{7(-1)}{4-(-1)} = \frac{-7}{5} < 0 $. Знак "-".
- При $ 0 < x < 4 $ (например, $ x = 1 $): $ \frac{7(1)}{4-1} = \frac{7}{3} > 0 $. Знак "+".
- При $ x > 4 $ (например, $ x = 5 $): $ \frac{7(5)}{4-5} = -35 < 0 $. Знак "-".
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это интервалы $ (-\infty; 0) $ и $ (4; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty) $.

4)

Дано неравенство: $ \frac{2}{x+3} \ge \frac{1}{x-1} $.
Перенесем все в левую часть: $ \frac{2}{x+3} - \frac{1}{x-1} \ge 0 $
Приведем к общему знаменателю $ (x+3)(x-1) $: $ \frac{2(x-1) - 1(x+3)}{(x+3)(x-1)} \ge 0 $
$ \frac{2x - 2 - x - 3}{(x+3)(x-1)} \ge 0 $
$ \frac{x-5}{(x+3)(x-1)} \ge 0 $
Решим методом интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя: $ x-5 = 0 \implies x = 5 $ (точка входит в решение).
$ x+3 = 0 \implies x = -3 $ (точка не входит в решение).
$ x-1 = 0 \implies x = 1 $ (точка не входит в решение).
Отметим точки -3, 1, 5 на числовой прямой и определим знаки выражения $ \frac{x-5}{(x+3)(x-1)} $ на интервалах:
- При $ x < -3 $ (например, $ x = -4 $): $ \frac{-4-5}{(-4+3)(-4-1)} = \frac{-9}{(-1)(-5)} < 0 $. Знак "-".
- При $ -3 < x < 1 $ (например, $ x = 0 $): $ \frac{0-5}{(0+3)(0-1)} = \frac{-5}{-3} > 0 $. Знак "+".
- При $ 1 < x < 5 $ (например, $ x = 2 $): $ \frac{2-5}{(2+3)(2-1)} = \frac{-3}{5} < 0 $. Знак "-".
- При $ x > 5 $ (например, $ x = 6 $): $ \frac{6-5}{(6+3)(6-1)} = \frac{1}{45} > 0 $. Знак "+".
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это интервалы $ (-3; 1) $ и $ [5; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-3; 1) \cup [5; +\infty) $.