Номер 8.21, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.21. Решите неравенство:

1) $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} > 0;$

2) $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} \le 0;$

3) $(x^2-25)\sqrt{16-x^2} > 0;$

4) $(x^2-25)\sqrt{16-x^2} \ge 0.$

1) Решим неравенство $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} > 0$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Поткоренное выражение должно быть неотрицательным:
$14+5x-x^2 \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x^2 - 5x - 14 \le 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x - 14$. По теореме Виета, $x_1 = -2$ и $x_2 = 7$.
Так как парабола $y = x^2 - 5x - 14$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется между корнями. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-2, 7]$.
Теперь вернемся к исходному неравенству. Произведение $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2}$ будет строго больше нуля только тогда, когда оба множителя строго положительны, так как $\sqrt{14+5x-x^2} \ge 0$.
Это равносильно системе:
$\begin{cases} x-3 > 0 \\ \sqrt{14+5x-x^2} > 0 \end{cases}$
Из второго неравенства следует, что $14+5x-x^2 > 0$, то есть $x \in (-2, 7)$.
Из первого неравенства следует, что $x > 3$.
Найдем пересечение решений системы: $x \in (-2, 7)$ и $x > 3$.
Пересечением является интервал $(3, 7)$.
Ответ: $(3, 7)$.

2) Решим неравенство $(x-3)\sqrt{14+5x-x^2} \le 0$.
ОДЗ, как и в предыдущем пункте, $x \in [-2, 7]$.
Неравенство выполняется, если:
а) Произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю.
$x-3=0 \Rightarrow x=3$.
$\sqrt{14+5x-x^2}=0 \Rightarrow 14+5x-x^2=0 \Rightarrow x=-2$ или $x=7$.
Все эти значения ($x=-2, x=3, x=7$) входят в ОДЗ и являются решениями.
б) Произведение меньше нуля. Так как $\sqrt{14+5x-x^2}$ на ОДЗ всегда неотрицателен, для отрицательности произведения необходимо, чтобы $\sqrt{14+5x-x^2} > 0$ и $x-3 < 0$.
Это равносильно системе:
$\begin{cases} x-3 < 0 \\ 14+5x-x^2 > 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $x < 3$.
Из второго неравенства получаем $x \in (-2, 7)$.
Пересечение этих условий дает $x \in (-2, 3)$.
Объединяя решения из пунктов а) и б), получаем: $x \in (-2, 3) \cup \{-2, 3, 7\}$.
Это можно записать как $x \in [-2, 3] \cup \{7\}$.
Ответ: $[-2, 3] \cup \{7\}$.

3) Решим неравенство $(x^2-25)\sqrt{16-x^2} > 0$.
Найдем ОДЗ: $16-x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 16 \Rightarrow -4 \le x \le 4$. Итак, ОДЗ: $x \in [-4, 4]$.
Для того чтобы произведение было строго положительным, оба множителя должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x^2-25 > 0 \\ \sqrt{16-x^2} > 0 \end{cases}$
Решим эту систему.
Из первого неравенства $x^2 > 25$ следует, что $x < -5$ или $x > 5$.
Из второго неравенства $16-x^2 > 0$ следует, что $x^2 < 16$, то есть $-4 < x < 4$.
Найдем пересечение множеств $(-\infty, -5) \cup (5, \infty)$ и $(-4, 4)$. Эти множества не пересекаются.
Следовательно, система, а значит и исходное неравенство, не имеет решений.
Можно рассуждать иначе: для любого $x$ из ОДЗ $x \in [-4, 4]$, имеем $x^2 \le 16$. Тогда $x^2-25 \le 16-25 = -9$. То есть первый множитель $(x^2-25)$ всегда отрицателен (или равен -9 при $x=\pm4$), а второй множитель $\sqrt{16-x^2}$ всегда неотрицателен. Их произведение никогда не может быть строго положительным.
Ответ: $\emptyset$.

4) Решим неравенство $(x^2-25)\sqrt{16-x^2} \ge 0$.
ОДЗ: $x \in [-4, 4]$.
Как мы установили в предыдущем пункте, для любого $x$ из ОДЗ $x \in [-4, 4]$, множитель $x^2-25$ является отрицательным, а множитель $\sqrt{16-x^2}$ является неотрицательным.
Произведение отрицательного числа и неотрицательного числа всегда будет неположительным (меньше или равно нулю).
Таким образом, неравенство $(x^2-25)\sqrt{16-x^2} \ge 0$ может выполняться только в том случае, когда левая часть равна нулю.
$(x^2-25)\sqrt{16-x^2} = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x^2-25 = 0 \Rightarrow x = \pm 5$. Эти корни не входят в ОДЗ $x \in [-4, 4]$.
$\sqrt{16-x^2} = 0 \Rightarrow 16-x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 4$. Эти корни входят в ОДЗ.
Следовательно, единственными решениями неравенства являются $x=-4$ и $x=4$.
Ответ: $\{-4, 4\}$.