Номер 14.2, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.2. Решите уравнение:

1) $\sqrt[4]{x+3} = \sqrt[4]{2x-3}$;

2) $\sqrt{4x-5} = \sqrt{1-x}$;

3) $\sqrt[5]{x^2-25} = \sqrt[5]{2x+10}$;

4) $\sqrt{x^2-36} = \sqrt{2x-1}$.

1) $\sqrt[4]{x+3} = \sqrt[4]{2x-3}$
Поскольку показатели корней (4) четные, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 2x-3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1.5 \end{cases} \implies x \ge 1.5$
Возведем обе части уравнения в четвертую степень, чтобы избавиться от корней:
$(\sqrt[4]{x+3})^4 = (\sqrt[4]{2x-3})^4$
$x+3 = 2x-3$
$2x-x = 3+3$
$x = 6$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $6 \ge 1.5$, корень $x=6$ является решением уравнения.
Ответ: 6

2) $\sqrt{4x-5} = \sqrt{1-x}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав неотрицательности подкоренных выражений:
$\begin{cases} 4x-5 \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x \ge 5 \\ x \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1.25 \\ x \le 1 \end{cases}$
Данная система неравенств не имеет решений, так как не существует числа, которое было бы одновременно больше или равно $1.25$ и меньше или равно $1$. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет

3) $\sqrt[5]{x^2 - 25} = \sqrt[5]{2x + 10}$
Поскольку показатель корня (5) - нечетное число, подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Ограничений на ОДЗ нет.
Возведем обе части уравнения в пятую степень:
$(\sqrt[5]{x^2 - 25})^5 = (\sqrt[5]{2x + 10})^5$
$x^2 - 25 = 2x + 10$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 2x - 35 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -35$
Корни уравнения: $x_1 = 7$ и $x_2 = -5$.
Ответ: -5; 7

4) $\sqrt{x^2 - 36} = \sqrt{2x - 1}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Так как корни квадратные, подкоренные выражения должны быть неотрицательны:
$\begin{cases} x^2 - 36 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} (x-6)(x+6) \ge 0 \\ 2x \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty) \\ x \ge 0.5 \end{cases}$
Пересечением этих условий является промежуток $x \ge 6$.
Теперь решим уравнение, возведя обе части в квадрат:
$x^2 - 36 = 2x - 1$
$x^2 - 2x - 35 = 0$
Корни этого квадратного уравнения (как и в предыдущем задании) равны $x_1 = 7$ и $x_2 = -5$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 6$):
Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет условию ($7 \ge 6$).
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < 6$), поэтому является посторонним.
Следовательно, у уравнения только один корень.
Ответ: 7